Em 1892, Fritzgerald propôs que um objeto se movendo através do vento de éter luminífero com velocidade v, sofreria contração em seu comprimento, na direção do movimento, pelo fator raiz(1-v^2 / c^2). Considerando que essa contração é verdadeira e o experimento de Michelson-Morley, descrito no livro texto, com o braço 11 na direção do vento de éter, e com De, mostre que a diferença no tempo de voo da luz em cada braço é dada por:
De

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. A questão fala sobre a ideia de Fitzgerald em 1892, que dizia que se um objeto se move no éter luminífero (aquele “vento” de éter) com velocidade $ v $, ele sofreria uma contração no comprimento na direção do movimento, dada pela fórmula $ \sqrt{1 - \frac{v2}{c2}} $. A gente também vai usar o experimento de Michelson-Morley, que mede a diferença no tempo que a luz leva para percorrer dois braços de um interferômetro, onde um braço está na direção do vento de éter. Vamos precisar entender contração de comprimento, velocidade da luz $ c $, e como calcular o tempo que a luz leva para percorrer caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os dois braços do interferômetro de Michelson-Morley. O braço $ 1_1 $ está na direção do vento de éter, e o braço $ 1_2 $ está perpendicular a ele. De acordo com a contração de Fitzgerald, o comprimento do braço na direção do vento vai ser menor que o perpendicular. Vamos chamar a diferença de comprimento entre os dois braços de $ \Delta L = L_{1_1} - L_{1_2} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a luz leva para percorrer cada braço. Para o braço $ 1_1 $, que está na direção do vento de éter, a luz precisa ir e voltar contra e a favor desse vento. A velocidade efetiva da luz nesse caso não é simplesmente $ c $, porque o vento de éter afeta a velocidade da luz relativa ao interferômetro.

Passo 4

Para o braço $ 1_2 $, que está perpendicular ao vento de éter, a luz também vai precisar ir e voltar, mas a influência do vento de éter é diferente aqui. A velocidade efetiva da luz nesse caso envolve componentes perpendiculares e precisamos considerar a velocidade resultante.

Passo 5

Vamos simplificar os cálculos assumindo que $ v $ (velocidade do éter) é muito menor que $ c $. Com isso, podemos expandir as expressões usando séries de potências e manter apenas os termos até $ \frac{v2}{c2} $.

Passo 6

Calculando o tempo para o braço $ 1_1 $:
11
E para o braço $ 1_2 $:
t11 = 2 L11c (1 + v^22 c^2)

Passo 7

A diferença no tempo de voo da luz entre os dois braços é:
De

Resposta

Portanto, a diferença no tempo de voo da luz em cada braço é dada por:
De

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