Gotas de chuva, que caem verticalmente, deixam riscos com inclinação de 30^circ, em relação à vertical, nas janelas dos vagões de um trem, que viaja à velocida-de de 20 km / h para leste. a) Ache a componente horizontal da velocidade da gota em relação ao solo e em relação ao trem. b) Ache a velocidade da gota em relação ao solo e em relação ao trem. Resposta: vs =34,6 km / h vtr =40 km / h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre gotas de chuva que caem verticalmente, mas como o trem está se movendo, os riscos que elas deixam nas janelas têm uma inclinação de 30^circ em relação à vertical. A gente vai precisar usar conceitos de velocidade relativa e decomposição de vetores para achar:
a) A componente horizontal da velocidade da gota em relação ao solo e ao trem.
b) A velocidade total da gota em relação ao solo e ao trem.
Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “inclinação de 30^circ em relação à vertical”. Isso quer dizer que a direção do movimento da gota forma um ângulo de 30^circ com a linha vertical. Podemos imaginar um triângulo retângulo onde essa inclinação nos ajuda a decompor a velocidade da gota em componentes vertical e horizontal.

Passo 3

Vamos chamar a velocidade da gota em relação ao solo de $ \vec{v}s $ e a velocidade do trem de $ \vec{v}{tr} $. Sabemos que o trem está indo para o leste a $ 20 , km/h $. A velocidade da gota em relação ao trem será a diferença entre a velocidade da gota em relação ao solo e a velocidade do trem:
vs

Passo 4

Como a gota está formando um ângulo de 30^circ com a vertical, podemos usar funções trigonométricas para achar as componentes da velocidade. O cosseno do ângulo nos dá a componente vertical e o seno nos dá a componente horizontal.
Se $ \theta = 30^{\circ} $, então:
theta = 30^circ
vhorizontal = vs cdot sin(theta)

Passo 5

Vamos encontrar a componente horizontal da velocidade da gota em relação ao solo. Sabemos que a componente horizontal é a mesma que a velocidade do trem, porque a gota parece inclinada devido ao movimento do trem.
Então:
vhorizontal = vtr = 20 , km/h

Passo 6

Agora, usando o ângulo de 30^circ, podemos achar a velocidade total da gota em relação ao solo utilizando a relação trigonométrica:
vs = vhorizontalsin(30^circ) = 200,5 = 40 , km/h

Passo 7

Com a velocidade da gota em relação ao solo ($ v_s = 40 , km/h vs = 40 , km/h çã v_{gota/tr} $):
vgota/tr

Resposta

a) A componente horizontal da velocidade da gota é $ 20 , km/h $ em relação ao solo e $ 0 , km/h $ em relação ao trem.
b) A velocidade da gota é $ 40 , km/h $ em relação ao solo e $ 20 , km/h $ em relação ao trem.

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