Gotas de chuva, que caem verticalmente, deixam riscos com inclinação de
, em relação à vertical, nas janelas dos vagões de um trem, que viaja à velocida-de de
para leste. a) Ache a componente horizontal da velocidade da gota em relação ao solo e em relação ao trem. b) Ache a velocidade da gota em relação ao solo e em relação ao trem. Resposta: vs
vtr
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre gotas de chuva que caem verticalmente, mas como o trem está se movendo, os riscos que elas deixam nas janelas têm uma inclinação de
em relação à vertical. A gente vai precisar usar conceitos de velocidade relativa e decomposição de vetores para achar:
a) A componente horizontal da velocidade da gota em relação ao solo e ao trem.
b) A velocidade total da gota em relação ao solo e ao trem.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “inclinação de
em relação à vertical”. Isso quer dizer que a direção do movimento da gota forma um ângulo de
com a linha vertical. Podemos imaginar um triângulo retângulo onde essa inclinação nos ajuda a decompor a velocidade da gota em componentes vertical e horizontal.
Passo 3
Vamos chamar a velocidade da gota em relação ao solo de $ \vec{v}s $ e a velocidade do trem de $ \vec{v}{tr} $. Sabemos que o trem está indo para o leste a $ 20 , km/h $. A velocidade da gota em relação ao trem será a diferença entre a velocidade da gota em relação ao solo e a velocidade do trem:
Passo 4
Como a gota está formando um ângulo de
com a vertical, podemos usar funções trigonométricas para achar as componentes da velocidade. O cosseno do ângulo nos dá a componente vertical e o seno nos dá a componente horizontal.
Se $ \theta = 30^{\circ} $, então:
Passo 5
Vamos encontrar a componente horizontal da velocidade da gota em relação ao solo. Sabemos que a componente horizontal é a mesma que a velocidade do trem, porque a gota parece inclinada devido ao movimento do trem.
Então:
Passo 6
Agora, usando o ângulo de
, podemos achar a velocidade total da gota em relação ao solo utilizando a relação trigonométrica:
Passo 7
Com a velocidade da gota em relação ao solo ($ v_s = 40 , km/h
v_{gota/tr} $):
Resposta
a) A componente horizontal da velocidade da gota é $ 20 , km/h $ em relação ao solo e $ 0 , km/h $ em relação ao trem.
b) A velocidade da gota é $ 40 , km/h $ em relação ao solo e $ 20 , km/h $ em relação ao trem.