Uma capa cilíndrica metálica muito delgada, de raio de 20 cm e massa igual a 2,0 kg, pode girar em torno de um eixo central preso a mancais. A capa, inicialmente em repouso, é acelerada através de uma correia esticada abrangendo seu eixo e o eixo de um motor. Após 30 s , ela atinge uma velocidade angular de 600 rpm (rotações por minuto). (A) Calcule a velocidade v de um ponto qualquer da capa. (B) Calcule a energia cinética obtida pela capa após os 30 segundos. © Qual foi a potência fornecida pelo motor à capa nesses 30 segundos?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma capa cilíndrica metálica muito fina com raio de 20 cm e massa de 2,0 kg que está girando. Ela inicia do repouso e, após 30 segundos, atinge uma velocidade angular de 600 rpm (rotações por minuto). Os conteúdos que vamos usar aqui são Cinemática Rotacional, Energia Cinética Rotacional e Potência. Precisamos entender conceitos como velocidade angular, energia cinética e potência mecânica para resolver os itens A, B e C.

Passo 2

Item A: Calcular a velocidade $ v $ de um ponto qualquer da capa.
Primeiro, precisamos converter a velocidade angular de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque as fórmulas de cinemática rotacional usam rad/s.
Sabemos que:
v çã
1 rotação = 2pi radianos
Então, a velocidade angular $ \omega $ em rad/s é:
Agora, a velocidade linear $ v $ de um ponto na borda do cilindro está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
1 minuto = 60 segundos
Onde $ r $ é o raio.
Dado que o raio $ r = 20 , cm = 0,20 , m $, substituímos:
omega
omega = 600 , rpm times 2pi , rad1 , rotação times 1, min60 , s = 600 times 2pi60 = 20pi , rad/s

Passo 3

Item B: Calcular a energia cinética obtida pela capa após os 30 segundos.
A energia cinética rotacional ($ KE $) é dada por:
KE
Onde $ I $ é o momento de inércia e $ \omega $ é a velocidade angular.
Para uma capa cilíndrica muito fina, o momento de inércia é:
KE = 12 I omega^2
Substituindo os valores:
I
Agora, usando $ \omega = 20\pi , rad/s $:
omega
I = m r^2

Passo 4

Item C: Calcular a potência fornecida pelo motor à capa nesses 30 segundos.
A potência ($ P $) é a taxa de trabalho realizado ou, no caso, a taxa de transferência de energia. Podemos calcular usando a fórmula:
P
Onde $ KE $ é a energia cinética e $ t $ é o tempo.
Já calculamos $ KE \approx 157,92 , J $ e $ t = 30 , s $, então:
P = KEt

Resposta

A) A velocidade de um ponto qualquer da capa é aproximadamente 12,57 , m/s.
B) A energia cinética obtida pela capa após 30 segundos é aproximadamente 157,92 , J.
C) A potência fornecida pelo motor à capa nesses 30 segundos foi de aproximadamente 5,26 , W.

Exercícios relacionados