19-22 Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
19.
19.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico da função vetorial
no ponto onde
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para achar a direção da tangente e o ponto onde a tangente toca a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando
. Isso significa substituir
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada da função vetorial
, que nos dá o vetor direção da reta tangente:
Passo 4
Vamos calcular
para achar o vetor direção no ponto
:
Esse vetor
será a direção da nossa reta tangente.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor direção
, podemos montar as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta são:
Onde
é o ponto da reta e
é o vetor direção.
Passo 6
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são: