Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
(b) f(t) = (t + 1) i - e^(2 t) j + k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial dada: . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada componente da função vetorial . Ela está escrita na forma:
Isso significa que temos três componentes:
  • Componente na direção de :
  • Componente na direção de :
  • Componente na direção de : (já que tem coeficiente 1)

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas componentes em relação a . A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Ou seja:

Passo 4

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada da componente :
Então, a derivada dessa parte é .
  1. Derivada da componente :
Então, a derivada dessa parte é .
  1. Derivada da componente :
Então, a derivada dessa parte é (ou seja, não contribui na derivada final).

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as derivadas das componentes:
Como o termo com é zero, podemos simplificar para:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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