Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial dada:
. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função vetorial separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar cada componente da função vetorial
. Ela está escrita na forma:
Isso significa que temos três componentes:
- Componente na direção de
: - Componente na direção de
: - Componente na direção de
: (já que tem coeficiente 1)
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas componentes em relação a
. A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Ou seja:
Passo 4
Vamos derivar cada termo:
- Derivada da componente
:
Então, a derivada dessa parte é
.
- Derivada da componente
:
Então, a derivada dessa parte é
.
- Derivada da componente
:
Então, a derivada dessa parte é
(ou seja, não contribui na derivada final).
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as derivadas das componentes:
Como o termo com
é zero, podemos simplificar para:
Resposta
A derivada da função vetorial
é: