Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
4. f(x) = 1/(9 - x^2)

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa descobrir se a função é contínua em toda a reta real. Vamos usar os conceitos de continuidade de funções racionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua se o seu gráfico não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos”. Para funções racionais, que são frações de polinômios, a continuidade depende de onde o denominador é diferente de zero, porque dividir por zero não é permitido.

Passo 3

Na nossa função , o denominador é . Precisamos verificar onde esse denominador é igual a zero, pois nesses pontos a função não estará definida.

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que anulam o denominador:

Passo 5

Encontramos que quando ou , o denominador se torna zero, ou seja, e não estão definidos. Isso cria “buracos” no gráfico da função nesses pontos, o que quebra a continuidade.

Passo 6

Além desses pontos, para quaisquer outros valores de , o denominador é diferente de zero, o que significa que a função está definida e, portanto, contínua nesses intervalos.

Resposta

A função não é contínua em toda a reta real, pois apresenta “buracos” nos pontos e , onde não está definida.

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