Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
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Passo 1
Neste exercício, a gente precisa descobrir se a função
é contínua em toda a reta real. Vamos usar os conceitos de continuidade de funções racionais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua se o seu gráfico não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos”. Para funções racionais, que são frações de polinômios, a continuidade depende de onde o denominador é diferente de zero, porque dividir por zero não é permitido.
Passo 3
Na nossa função
, o denominador é
. Precisamos verificar onde esse denominador é igual a zero, pois nesses pontos a função não estará definida.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar os valores de
que anulam o denominador:
Passo 5
Encontramos que quando
ou
, o denominador se torna zero, ou seja,
e
não estão definidos. Isso cria “buracos” no gráfico da função nesses pontos, o que quebra a continuidade.
Passo 6
Além desses pontos, para quaisquer outros valores de
, o denominador
é diferente de zero, o que significa que a função está definida e, portanto, contínua nesses intervalos.
Resposta
A função
não é contínua em toda a reta real, pois apresenta “buracos” nos pontos
e
, onde não está definida.