Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável:
(b) lim t -2(t^3+4 t^2+4 t(t+2)(t-1) i+(t+2) j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da função vetorial dada:
lim t -2(t^3+4 t^2+4 t(t+2)(t-1) i+(t+2) j)
Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções vetoriais, que envolve calcular os limites de cada componente do vetor separadamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre fatoração de polinômios e simplificação de expressões racionais.

Passo 2

Vamos começar observando cada componente da função vetorial separadamente. A função tem duas partes:
  1. A componente na direção de t^3+4 t^2+4 t(t+2)(t-1) :
(t + 2)
  1. A componente na direção de :
Vamos calcular o limite de cada uma dessas partes quando se aproxima de -2.

Passo 3

Primeiro, vamos focar na componente t^3+4 t^2+4 t(t+2)(t-1) :
t^3 + 4t^2 + 4t = t(t^2 + 4t + 4)
Para simplificar essa expressão, precisamos fatorar o numerador. Observamos que:
t^2 + 4t + 4 = (t + 2)^2
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático t(t + 2)^2 :
t(t + 2)^2(t + 2)(t - 1) = t(t + 2)t - 1
Então, o numerador fica:
Substituindo de volta na fração, temos:
Simplificamos cancelando um fator do numerador e do denominador.

Passo 4

Agora que simplificamos a primeira componente, vamos calcular o limite quando limt to -2 t(t + 2)t - 1 se aproxima de -2:
-2(-2 + 2)-2 - 1 = -2(0)-3 = 0
Substituindo :
Portanto, o limite da componente é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da componente limt to -2 (t + 2) :
-2 + 2 = 0
Substituindo :
Então, o limite da componente também é 0.

Resposta

0

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