(a) integral0^1lang<= 2 t, t^2, sen pi trang<= d t=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de um vetor definido de até . A matéria aqui envolve cálculo de integrais de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente. A função vetorial dada é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que integrar um vetor significa integrar cada uma das suas partes individualmente. Ou seja, vamos calcular:
integral0^1 2t , dt, integral0^1 t^2 , dt, e integral0^1 sin(pi t) , dt

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente integral 2t , dt = 2 cdot t^22 = t^2 :
[ t^2 ]0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Passo 4

Agora, integrando a segunda componente integral t^2 , dt = t^33 :
[ t^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 - 0 = 13
Avaliando de 0 a 1:

Passo 5

Por último, vamos integrar a terceira componente integral sin(pi t) , dt = -1pi cos(pi t) . Lembre-se que a integral de [ -1pi cos(pi t) ]0^1 = -1pi cos(pi) - ( -1pi cos(0) ) = -1pi(-1) + 1pi(1) = 1pi + 1pi = 2pi é :
Avaliando de 0 a 1:

Resposta

Portanto, a integral do vetor é:
integral0^1 lang<= 2t, t^2, sin(pi t) rang<= dt = lang<= 1, 13, 2pi rang<=

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