19-44 Calcule a integral.
y=integral1-3 x^1 u1+u^2 d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que você mandou: . Esse exercício envolve cálculo de integrais definidas e técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções racionais e aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando: . Para integrar essa função, vamos usar uma substituição simples. Vamos chamar de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dvdu = 2u em relação a du = dv2u :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo na integral original:
u1 + u^2 , du = uv cdot dv2u = 12 cdot dvv
Então, a integral fica:
y = 12 integralv(1 - 3x)^v(1) 1v , dv

Passo 5

Integrando integral 1v , dv = ln|v| , temos:
y = 12 [ ln(v) ]v=1 - 3x^v=1
Portanto:

Resposta

Substituindo os limites de integração de volta para y = 12 [ ln(1 + u^2) ]u=1 - 3x^u=1 :
y = 12 ( ln(1 + 1^2) - ln(1 + (1 - 3x)^2) )
y = 12 ( ln(2) - ln(1 + (1 - 3x)^2) )
y = 12 ln( 21 + (1 - 3x)^2 )
Ou, de forma combinada:

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y=integralsen x raiz1+t^2 d t
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f(x) = (raiz(2) * x + 1) / (x^2 - tg(3))