19-44 Calcule a integral.
y=integralsen x raiz1+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem expressões quadráticas dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . Para integrar essa função, podemos usar uma substituição que simplifica a expressão. Uma boa técnica aqui é usar a substituição trigonométrica ou as funções hiperbólicas, mas vamos optar por uma substituição mais direta.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dt = cosh u , du , onde é a função hiperbólica seno. Sabemos que , o que nos ajuda a simplificar a raiz.
Calculando :

Passo 4

Substituindo na integral:
y = integralsin x raiz1 + t^2 , dt = integral raiz1 + sinh^2 u cdot cosh u , du
Sabemos que y = integral cosh u cdot cosh u , du = integral cosh^2 u , du , então a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar cosh^2 u = 1 + cosh 2u2 . Usamos a identidade hiperbólica:
y = integral 1 + cosh 2u2 , du = 12 integral 1 , du + 12 integral cosh 2u , du
Portanto:

Passo 6

Integrando cada termo:
12 integral 1 , du = u2
12 integral cosh 2u , du = 14 sinh 2u
Então:
y = u2 + 14 sinh 2u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original y = sinh^-1 t2 + 14 cdot 2t raiz1 + t^2 + C . Lembrando que fizemos y = sinh^-1 t2 + t raiz1 + t^22 + C , então . E .
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, aplicamos os limites de integração de a um valor superior (que não foi especificado no enunciado, então assumiremos como indefinido). Assim, a solução geral para a integral é:

Resposta

y = 12 sinh^-1 t + t raiz1 + t^22 + C

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