19-44 Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem expressões quadráticas dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando:
. Para integrar essa função, podemos usar uma substituição que simplifica a expressão. Uma boa técnica aqui é usar a substituição trigonométrica ou as funções hiperbólicas, mas vamos optar por uma substituição mais direta.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, onde
é a função hiperbólica seno. Sabemos que
, o que nos ajuda a simplificar a raiz.
Calculando
:
Passo 4
Substituindo na integral:
Sabemos que
, então a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Usamos a identidade hiperbólica:
Portanto:
Passo 6
Integrando cada termo:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que fizemos
, então
. E
.
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, aplicamos os limites de integração de
a um valor superior (que não foi especificado no enunciado, então assumiremos como indefinido). Assim, a solução geral para a integral é:
Resposta
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) ou não racional (
); racional própria § ou racional imprópria (i)
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