(33) integral 2 x^3-2 x^2+1x^2-x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Precisamos resolver a integral . Isso envolve cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar dividir os polinômios e possivelmente usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus do numerador e do denominador. O grau do numerador é 3 (por causa do ) e o grau do denominador é 2 (por causa do ). Quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, a gente faz uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir 2 x^3 - 2 x^2 + 1x^2 - x = 2x + 0x + 1x^2 - x por . Fazendo a divisão:
Então, a fração pode ser escrita como mais .

Passo 4

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. A integral fica:
integral (2x + 1x^2 - x) , dx = integral 2x , dx + integral 1x^2 - x , dx
Vamos resolver cada integral:
  1. x^2 - x = x(x - 1) , onde 1x(x - 1) = Ax + Bx - 1 é a constante de integração.
  2. Para 1 = A(x - 1) + Bx , vamos fatorar o denominador:
1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 1
Agora, usamos frações parciais:
1 = A(-1) + B(0) Rightarrow A = -1
Resolvendo para 1x(x - 1) = -1x + 1x - 1 e integral (-1x + 1x - 1) , dx = -ln|x| + ln|x - 1| + C :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:
Agora, podemos integrar:

Resposta

A integral x^2 - ln|x| + ln|x - 1| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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