A altura de um monumento é de 20 m . Uma seç̧ão transversal horizontal a uma distância de x metros do topo é um triângulo equilátero com lado medindo 1/4 x metros. Encontre o volume do monumento.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um monumento com altura de 20 metros. Em qualquer altura x metros a partir do topo, a seção transversal é um triângulo equilátero cujo lado mede metros. Nosso objetivo é encontrar o volume desse monumento. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área das seções transversais e integrar essa área ao longo da altura do monumento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a área de um triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo equilátero com lado s é:
No nosso caso, o lado do triângulo em função de x é . Substituindo na fórmula da área:

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do monumento, precisamos integrar a área das seções transversais ao longo da altura total. A altura total é de 20 metros, então x varia de 0 a 20. A integral para o volume V é:

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites de integração:

Passo 5

Simplificando a fração:
Portanto:
ú

Resposta

O volume do monumento é de metros cúbicos.

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