A altura de um monumento é de 20 m . Uma seç̧ão transversal horizontal a uma distância de
metros do topo é um triângulo equilátero com lado medindo
metros. Encontre o volume do monumento.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos um monumento com altura de 20 metros. Em qualquer altura
metros a partir do topo, a seção transversal é um triângulo equilátero cujo lado mede
metros. Nosso objetivo é encontrar o volume desse monumento. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área das seções transversais e integrar essa área ao longo da altura do monumento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a área de um triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo equilátero com lado
é:
No nosso caso, o lado do triângulo em função de
é
. Substituindo na fórmula da área:
Passo 3
Agora, para encontrar o volume do monumento, precisamos integrar a área das seções transversais ao longo da altura total. A altura total é de 20 metros, então
varia de 0 a 20. A integral para o volume
é:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites de integração:
Passo 5
Simplificando a fração:
Portanto:
Resposta
O volume do monumento é de
metros cúbicos.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas de 1 a 6 , determine a ordem da equação diferencial dada e diga se ela é linear ou não linear.
Um vidro cilíndrico de raio
e altura
é enchido com água e então inclinado até que a água remanescente no vidro cubra exatamente a sua base. Encontre o volume de água no vidro.