Obtenha o maior subconjunto de
ou
, no qual a função é contínua
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida em
(o plano) que é dada por:
O objetivo é encontrar o maior subconjunto de
onde essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em várias variáveis e como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou apenas em alguns deles.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o conceito de continuidade. Em funções de várias variáveis, como
, dizemos que
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
.
Então, para verificar a continuidade da nossa função
, precisamos analisar onde os limites existem e são iguais aos valores da função nesses pontos.
Passo 3
Vamos analisar a função
em
. A função está definida de duas maneiras:
- Para todos os pontos
diferentes de , . - No ponto
, .
Nosso foco principal será verificar a continuidade no ponto
, já que em todos os outros pontos, sendo uma função racional onde o denominador não é zero, a continuidade é garantida.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Para isso, podemos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
.
Passo 5
Primeiro, consideremos o caminho onde
:
Agora, consideremos o caminho onde
:
Ambos os limites são iguais a 0, que é o valor de
. Mas vamos verificar mais alguns caminhos para ter certeza.
Passo 6
Vamos agora considerar o caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Novamente, o limite é 0.
Passo 7
Para finalizar, vamos verificar se o limite é sempre 0 independente do caminho escolhido. De forma geral, podemos usar coordenadas polares para analisar o limite:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Independente do ângulo
, o limite é 0.
Resposta
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é 0, que coincide com
. Assim, a função
é contínua em todos os pontos de
. O maior subconjunto de
onde
é contínua é, portanto, todo o
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Considere
. Caso
, diga se
admite extensão contínua a
, ou seja, se existe função
contínua tal que
para todo
.
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.