Obtenha o maior subconjunto de ou , no qual a função é contínua

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida em (o plano) que é dada por:
O objetivo é encontrar o maior subconjunto de onde essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em várias variáveis e como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou apenas em alguns deles.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o conceito de continuidade. Em funções de várias variáveis, como , dizemos que é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a .
Então, para verificar a continuidade da nossa função , precisamos analisar onde os limites existem e são iguais aos valores da função nesses pontos.

Passo 3

Vamos analisar a função em . A função está definida de duas maneiras:
  1. Para todos os pontos diferentes de , .
  2. No ponto , .
Nosso foco principal será verificar a continuidade no ponto , já que em todos os outros pontos, sendo uma função racional onde o denominador não é zero, a continuidade é garantida.

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Para isso, podemos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto .

Passo 5

Primeiro, consideremos o caminho onde :
Agora, consideremos o caminho onde :
Ambos os limites são iguais a 0, que é o valor de . Mas vamos verificar mais alguns caminhos para ter certeza.

Passo 6

Vamos agora considerar o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo por na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Novamente, o limite é 0.

Passo 7

Para finalizar, vamos verificar se o limite é sempre 0 independente do caminho escolhido. De forma geral, podemos usar coordenadas polares para analisar o limite:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Independente do ângulo , o limite é 0.

Resposta

Portanto, o limite de quando se aproxima de é 0, que coincide com . Assim, a função é contínua em todos os pontos de . O maior subconjunto de onde é contínua é, portanto, todo o .

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