19.)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a soma infinita:
Matéria envolvida: Séries infinitas e técnicas de frações parciais.
O que precisamos para resolver: Identificar uma forma de simplificar os termos da série para facilitar a soma, utilizando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para isso, fatoramos o polinômio:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Procuramos números
e
tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Passo 6
Substituindo os valores de
e
na decomposição:
Passo 7
Agora, reescrevemos a soma original usando as frações parciais:
Passo 8
Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos consecutivamente. Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Percebe-se que
cancela com
,
com
, e assim por diante.
Passo 9
Após o cancelamento dos termos intermediários, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondentes para cancelar:
Resposta
A soma da série é
.