19.) sumn=2^infty 2n^2+4 n+3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a soma infinita:
sumn=2^infty 2n^2+4n+3
Matéria envolvida: Séries infinitas e técnicas de frações parciais.
O que precisamos para resolver: Identificar uma forma de simplificar os termos da série para facilitar a soma, utilizando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) . Para isso, fatoramos o polinômio:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos reescrever a fração original:
2(n + 1)(n + 3)
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Procuramos números 2(n + 1)(n + 3) = An + 1 + Bn + 3 e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 = A(n + 3) + B(n + 1) para eliminar os denominadores:
2 = A n + 3A + B n + B = (A + B)n + (3A + B)
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 0 3A + B = 2
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, 3A - A = 2 Rightarrow 2A = 2 Rightarrow A = 1 . Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 6

Substituindo os valores de 2(n + 1)(n + 3) = 1n + 1 - 1n + 3 e na decomposição:

Passo 7

Agora, reescrevemos a soma original usando as frações parciais:
sumn=2^infty ( 1n + 1 - 1n + 3 )

Passo 8

Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos consecutivamente. Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
( 13 - 15 ) + ( 14 - 16 ) + ( 15 - 17 ) + dots
Percebe-se que cancela com , com , e assim por diante.

Passo 9

Após o cancelamento dos termos intermediários, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondentes para cancelar:
13 + 14 = 712

Resposta

A soma da série é .

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