Use o critério da comparação por limite para analisar o comportamento das séries abaixo quanto a sua convergência.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita
e precisamos verificar se ela converge ou diverge usando o critério da comparação por limite. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries e tipos de convergência, especialmente o que são séries p.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Podemos combinar os termos dentro da soma:
Isso sugere que a série se comporta de maneira semelhante a
, que é uma série p com
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o critério da comparação por limite. Esse critério diz que, se temos duas séries
e
com todos os termos positivos, e se:
onde
é um número real positivo, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
No nosso caso, vamos escolher
e
.
Vamos calcular o limite:
Simplificando
:
Portanto:
Passo 4
Como o limite é 1, que é um número positivo e diferente de zero, o critério da comparação por limite nos diz que as duas séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Sabemos que
é uma série p com
. Para séries p, se
, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.