Use o critério da comparação por limite para analisar o comportamento das séries abaixo quanto a sua convergência. sumn=1^infty(1raizn+1raizn+1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita e precisamos verificar se ela converge ou diverge usando o critério da comparação por limite. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries e tipos de convergência, especialmente o que são séries p.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Podemos combinar os termos dentro da soma:
1raizn + 1raizn+1 = 1raizn + 1raiznraiz1+1n approx 2raizn para n grande
Isso sugere que a série se comporta de maneira semelhante a , que é uma série p com .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o critério da comparação por limite. Esse critério diz que, se temos duas séries limn to infty anbn = c e limn to infty 1raizn + 1raizn+12raizn = limn to infty 1 + raiznraizn+12 com todos os termos positivos, e se:
raiznraizn+1 = raiznn+1 = raiz11+1n to 1 quando n to infty
onde limn to infty 1 + 12 = 1 é um número real positivo, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
No nosso caso, vamos escolher e .
Vamos calcular o limite:
Simplificando :
Portanto:

Passo 4

Como o limite é 1, que é um número positivo e diferente de zero, o critério da comparação por limite nos diz que as duas séries e têm o mesmo comportamento de convergência.
Sabemos que é uma série p com . Para séries p, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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