Use o critério da comparação por limite para analisar o comportamento das séries abaixo quanto a sua convergência.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa série infinita que a gente tem aqui:
. A gente vai usar o teste de comparação por limite para ver se essa série converge ou não. Para isso, precisamos comparar com outra série que já sabemos se ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Observa que, quando n fica bem grande, os termos de maior grau dominam. Então, o numerador
fica aproximadamente
e o denominador
fica aproximadamente
. Assim, o termo geral se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série que escolhemos é
. Essa é uma série geométrica com razão
, e sabemos que séries geométricas com
convergem.
Passo 4
Vamos aplicar o teste de comparação por limite. Calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando n tende ao infinito:
Resposta
Como o limite é um número finito diferente de zero e a série de comparação
converge, podemos concluir que a série original
também converge.