Use o critério da comparação por limite para analisar o comportamento das séries abaixo quanto a sua convergência. sumn=1^infty 3 n^2+5 n2^n(n^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa série infinita que a gente tem aqui: sumn=1^infty 3n^2+5n2^n(n^2+1). A gente vai usar o teste de comparação por limite para ver se essa série converge ou não. Para isso, precisamos comparar com outra série que já sabemos se ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 3n^2+5n2^n(n^2+1). Observa que, quando n fica bem grande, os termos de maior grau dominam. Então, o numerador 3n^2+5n fica aproximadamente 3n^2 e o denominador 2^n(n^2+1) fica aproximadamente 2^nn^2. Assim, o termo geral se aproxima de 3n^22^nn^2 = 32^n.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série que escolhemos é sumn=1^infty 12^n. Essa é uma série geométrica com razão r = 12, e sabemos que séries geométricas com |r| < 1 convergem.

Passo 4

Vamos aplicar o teste de comparação por limite. Calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando n tende ao infinito:
limn to infty 3n^2+5n2^n(n^2+1)12^n = limn to infty 3n^2+5nn^2+1 = 3

Resposta

Como o limite é um número finito diferente de zero e a série de comparação sumn=1^infty 12^n converge, podemos concluir que a série original sumn=1^infty 3n^2+5n2^n(n^2+1) também converge.

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