7.) sumn=0^infty(pie)^n

Passo 1

Então, a gente tem o exercício que pede para calcular a soma da série infinita sumn=0^infty(pie)^n. A matéria aqui é sobre séries geométricas, e pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série que temos é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos. No nosso caso, a = 1 (quando n=0, (pie)^0 = 1) e r = pie.

Passo 3

Agora, é importante saber que uma série geométrica infinita converge (tem uma soma finita) se o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Vamos verificar isso aqui: |pie| approx |3,142,71| approx 1,16. Como 1,16 é maior que 1, a série não converge.

Passo 4

Porém, para fins de aprendizado, vamos lembrar como seria a soma de uma série geométrica infinita quando ela converge. A fórmula é:
S = a1 - r
Mas, já vimos que como |r| > 1, essa fórmula não se aplica nesse caso.

Resposta

A série sumn=0^infty(pie)^n não converge, pois a razão pie é maior que 1.

Exercícios relacionados