Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a derivada de
em relação a
(
) utilizando a Regra da Cadeia. A função
é dada por:
e as variáveis
,
e
são funções de
:
Para resolver, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos permite encontrar a derivada de funções compostas.
Passo 2
Vamos reescrever a expressão de
para facilitar a derivação:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia, derivamos
em relação a
:
Calculando as derivadas:
Simplificando os fatores comuns:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
- Derivando
:
- Derivando
:
- Derivando
:
Passo 5
Substituindo as derivadas encontradas no Passo 4 na expressão de
:
Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada fica:
Passo 6
Sabemos que
e que
. Substituindo essas identidades no denominador:
Assim, a derivada simplifica para:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
De acordo com a teoria de Planck da radiação de corpo negro, a emitância espectral radiativa é dada pela fórmula
onde
é o comprimento de onda da radiação,
é a constante de Planck,
é a constante de Boltzmann, c é a velocidade da luz, e T é a temperatura na escala Kelvin. Considere T como constante e encontre uma equação que forneça o comprimento de onda de máxima emitância.
Calcule os seguintes limites:
(7-19) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.