Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
w = ln(raiz(x^2 + y^2 + z^2)), x = sen(t), y = cos(t), z = tg(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a derivada de em relação a ( ) utilizando a Regra da Cadeia. A função é dada por:
e as variáveis , e são funções de :
Para resolver, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos permite encontrar a derivada de funções compostas.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão de para facilitar a derivação:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, derivamos em relação a :
Calculando as derivadas:
Simplificando os fatores comuns:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a :
  1. Derivando :
  1. Derivando :
  1. Derivando :

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas no Passo 4 na expressão de :
Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada fica:

Passo 6

Sabemos que e que . Substituindo essas identidades no denominador:
Assim, a derivada simplifica para:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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