Em 1911, Ernest Rutherford estabeleceu o modelo do átomo nuclear. Neste modelo, o átomo neutro tem carga pontual positiva
no centro, envolvida por cargas negativas,
, uniformemente distribuídas dentro de uma esfera de raio R. Determine a expressão para a força elétrica que age sobre um único elétron localizado numa região interna ao átomo, de raio arbitrário
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a força elétrica que age sobre um elétron dentro de um átomo, seguindo o modelo de Rutherford de 1911. Nesse modelo, temos uma carga positiva concentrada no centro do átomo e cargas negativas distribuídas uniformemente em uma esfera ao redor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente como relacionar o potencial elétrico com a força elétrica. Precisamos entender um pouco de derivadas também para conectar o potencial à força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica
sobre uma partícula pode ser encontrada a partir do potencial elétrico
usando a relação:
Como estamos lidando com uma situação simétrica esférica, a força será radial, então podemos simplificar para:
Isso significa que a força é o negativo da derivada do potencial em relação à distância
.
Passo 3
Agora, vamos pegar a expressão do potencial elétrico fornecido:
Nosso próximo passo é derivar essa expressão em relação a
.
Passo 4
Vamos diferenciar cada termo do potencial em relação a
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é 0, já que não depende de . - Derivada de
é .
Então, a derivada de
fica:
Passo 5
Lembrando que a força é o negativo dessa derivada, temos:
Então, a força elétrica que age sobre o elétron numa região interna ao átomo, a uma distância
do centro, é dada por essa expressão.
Resposta
A força elétrica sobre o elétron é