Em 1911, Ernest Rutherford estabeleceu o modelo do átomo nuclear. Neste modelo, o átomo neutro tem carga pontual positiva +Ze no centro, envolvida por cargas negativas, -Ze, uniformemente distribuídas dentro de uma esfera de raio R. Determine a expressão para a força elétrica que age sobre um único elétron localizado numa região interna ao átomo, de raio arbitrário
V(r)=Z e4 pi epsilon0(1r-32 R+r^22 R^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a força elétrica que age sobre um elétron dentro de um átomo, seguindo o modelo de Rutherford de 1911. Nesse modelo, temos uma carga positiva concentrada no centro do átomo e cargas negativas distribuídas uniformemente em uma esfera ao redor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente como relacionar o potencial elétrico com a força elétrica. Precisamos entender um pouco de derivadas também para conectar o potencial à força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica F(r) = -nabla V(r) sobre uma partícula pode ser encontrada a partir do potencial elétrico F(r) = -dV(r)dr usando a relação:
Como estamos lidando com uma situação simétrica esférica, a força será radial, então podemos simplificar para:
Isso significa que a força é o negativo da derivada do potencial em relação à distância .

Passo 3

Agora, vamos pegar a expressão do potencial elétrico fornecido:
V(r) = Z e4 pi epsilon0(1r - 32 R + r^22 R^3)
Nosso próximo passo é derivar essa expressão em relação a .

Passo 4

Vamos diferenciar cada termo do potencial em relação a dV(r)dr = Z e4 pi epsilon0 ( -1r^2 + rR^3 ) :
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de é 0, já que não depende de .
  3. Derivada de é .
Então, a derivada de fica:

Passo 5

Lembrando que a força é o negativo dessa derivada, temos:
F(r) = -dV(r)dr = Z e4 pi epsilon0 ( 1r^2 - rR^3 )
Então, a força elétrica que age sobre o elétron numa região interna ao átomo, a uma distância do centro, é dada por essa expressão.

Resposta

A força elétrica sobre o elétron é
F(r) = Z e4,pi,epsilon0,(1r^2 - rR^3)

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