Uma esfera condutora carregada tem o potencial de sua superfície igual a 850 V. A uma distância radial de 20,0 cm, a partir da superfície, o potencial é 150 V. a) Determine o raio dessa esfera e sua densidade superficial de carga;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora carregada com um potencial de superfície de 850 V. A uma distância de 20 cm além da superfície, o potencial é de 150 V. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio dessa esfera e qual é a densidade superficial de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula do potencial elétrico para uma esfera condutora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico V(r) = k cdot Qr em torno de uma esfera condutora carregada. A fórmula é:
Onde:
  • é o potencial a uma distância do centro da esfera,
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é a carga total na esfera,
  • é a distância do centro da esfera.

Passo 3

Sabemos que o potencial na superfície da esfera ( V(R) = k cdot QR = 850 , V ) é de 850 V:
V(R + 0,20) = k cdot QR + 0,20 = 150 , V
E o potencial a uma distância de além da superfície ( ) é de 150 V:

Passo 4

Vamos montar uma relação entre essas duas equações. Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
V(R + 0,20)V(R) = k cdot QR + 0,20k cdot QR
Simplificando:
150850 = RR + 0,20

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o raio 150850 = RR + 0,20 :
150(R + 0,20) = 850R
Multiplicando cruzado:
150R + 30 = 850R
Distribuindo:
30 = 700R
Subtraindo R = 30700 de ambos os lados:
R = 0,04286 , m
Dividindo ambos os lados por 700:
R = 4,286 , cm
Convertendo para centímetros:

Passo 6

Agora que temos o raio V(R) = k cdot QR da esfera, vamos encontrar a carga Q = V(R) cdot Rk usando a primeira equação:
Q = 850 , V cdot 0,04286 , m8,99 times 10^9 , N·m²/C²
Isolando Q approx 36,4318,99 times 10^9 :
Q approx 4,058 times 10^-9 , C
Substituindo os valores:
²²
Calculando:

Passo 7

Por último, vamos calcular a densidade superficial de carga sigma = Q4 pi R^2 , que é a carga por unidade de área da superfície da esfera:
sigma = 4,058 times 10^-9 , C4 pi (0,04286 , m)^2
Substituindo os valores:
sigma approx 4,058 times 10^-94 pi times 0,001840
Calculando:
sigma approx 4,058 times 10^-90,02311
sigma approx 1,756 times 10^-7 , C/m²
²

Resposta

O raio da esfera é aproximadamente e a densidade superficial de carga é ².

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