Uma esfera condutora carregada tem o potencial de sua superfície igual a
. A uma distância radial de
, a partir da superfície, o potencial é 150 V. a) Determine o raio dessa esfera e sua densidade superficial de carga;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora carregada com um potencial de superfície de 850 V. A uma distância de 20 cm além da superfície, o potencial é de 150 V. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio dessa esfera e qual é a densidade superficial de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula do potencial elétrico para uma esfera condutora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico
em torno de uma esfera condutora carregada. A fórmula é:
Onde:
-
é o potencial a uma distância do centro da esfera, -
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga total na esfera, -
é a distância do centro da esfera.
Passo 3
Sabemos que o potencial na superfície da esfera (
) é de 850 V:
E o potencial a uma distância de
além da superfície (
) é de 150 V:
Passo 4
Vamos montar uma relação entre essas duas equações. Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o raio
:
Multiplicando cruzado:
Distribuindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 700:
Convertendo para centímetros:
Passo 6
Agora que temos o raio
da esfera, vamos encontrar a carga
usando a primeira equação:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 7
Por último, vamos calcular a densidade superficial de carga
, que é a carga por unidade de área da superfície da esfera:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
O raio da esfera é aproximadamente
e a densidade superficial de carga é
.
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