Duas cargas pontuais
estão no eixo oz nos posições
e
. Mostre que o valor máximo da força elétrica sobre uma carga
colocada no eixo ox é expressa por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cargas pontuais
posicionadas ao longo do eixo
nas posições
e
. Precisamos encontrar o valor máximo da força elétrica sobre uma carga
que está no eixo
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Vamos precisar entender como as forças se somam quando temos múltiplas cargas e como determinar onde essa força atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
Onde:
-
é a força entre as cargas, -
é a constante eletrostática , -
e são as magnitudes das cargas, -
é a distância entre as cargas.
Passo 3
No nosso caso, temos a carga
no eixo
e as duas cargas
no eixo
nas posições
e
. Vamos chamar a posição da carga
de
. As distâncias entre
e cada
serão iguais, pois ambas estão a uma distância
do eixo
.
Passo 4
Vamos calcular a distância entre
e uma das cargas
. Usando o Teorema de Pitágoras:
Então, a força exercida por uma carga
sobre
é:
Passo 5
Agora, precisamos considerar as direções dessas forças. Como as duas cargas
estão em posições simétricas em relação a
, as componentes verticais das forças (ao longo do eixo
) vão se cancelar, e apenas as componentes horizontais (ao longo do eixo
) vão se somar.
Passo 6
A componente horizontal da força de uma das cargas
sobre
é dada por:
Como são duas cargas
, a força total na direção
é:
Passo 7
Para encontrar o valor máximo dessa força, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Calculando a derivada:
Passo 8
Aplicando a regra do quociente e simplificando, encontramos que o máximo ocorre quando:
Então, a posição onde a força é máxima está a
no eixo
.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituímos
:
Notamos que
, ajustando os termos para combinar com a forma apresentada no enunciado:
Resposta
O valor máximo da força elétrica sobre a carga
no eixo
é:
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)
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.