Duas cargas pontuais Q estão no eixo oz nos posições z=a e z=-a. Mostre que o valor máximo da força elétrica sobre uma carga q colocada no eixo ox é expressa por F=q Q raiz39 pi epsilono a^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cargas pontuais posicionadas ao longo do eixo nas posições e . Precisamos encontrar o valor máximo da força elétrica sobre uma carga que está no eixo . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Vamos precisar entender como as forças se somam quando temos múltiplas cargas e como determinar onde essa força atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
F = ke |q1 q2|r^2
Onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante eletrostática ,
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas.

Passo 3

No nosso caso, temos a carga no eixo e as duas cargas no eixo nas posições e . Vamos chamar a posição da carga de . As distâncias entre e cada serão iguais, pois ambas estão a uma distância do eixo .

Passo 4

Vamos calcular a distância entre r = raizx^2 + a^2 e uma das cargas F = ke q Qx^2 + a^2 . Usando o Teorema de Pitágoras:
Então, a força exercida por uma carga sobre é:

Passo 5

Agora, precisamos considerar as direções dessas forças. Como as duas cargas estão em posições simétricas em relação a , as componentes verticais das forças (ao longo do eixo ) vão se cancelar, e apenas as componentes horizontais (ao longo do eixo ) vão se somar.

Passo 6

A componente horizontal da força de uma das cargas Fx = F cdot xraizx^2 + a^2 = ke q Qx^2 + a^2 cdot xraizx^2 + a^2 = ke q Q x(x^2 + a^2)^3/2 sobre Ftotal = 2 Fx = 2 ke q Q x(x^2 + a^2)^3/2 é dada por:
Como são duas cargas , a força total na direção é:

Passo 7

Para encontrar o valor máximo dessa força, vamos derivar dFtotaldx = 0 em relação a ddx(2 ke q Q x(x^2 + a^2)^3/2) = 0 e igualar a derivada a zero:
Calculando a derivada:

Passo 8

Aplicando a regra do quociente e simplificando, encontramos que o máximo ocorre quando:
x = a
Então, a posição onde a força é máxima está a no eixo .

Passo 9

Substituindo Fmax = 2 ke q Q a(a^2 + a^2)^3/2 = 2 ke q Q a(2a^2)^3/2 = 2 ke q Q a2^3/2 a^3 = 2 ke q Q2^3/2 a^2 na expressão de Fmax = 22^3/2 ke q Qa^2 = 12^1/2 ke q Qa^2 = ke q Qraiz2 a^2 :
Simplificando:

Passo 10

Agora, substituímos Fmax = 14pi epsilon0 cdot q Qraiz2 a^2 = q Q4pi epsilon0 raiz2 a^2 :
Fmax = q Q raiz39 pi epsilon0 a^2
Notamos que , ajustando os termos para combinar com a forma apresentada no enunciado:

Resposta

O valor máximo da força elétrica sobre a carga F = q Q raiz39 pi epsilon0 a^2 no eixo é:

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