Duas cargas pontuais estão no eixo oz nos posições e . Mostre que o valor máximo da força elétrica sobre uma carga colocada no eixo ox é expressa por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cargas pontuais posicionadas ao longo do eixo nas posições e . Precisamos encontrar o valor máximo da força elétrica sobre uma carga que está no eixo . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Vamos precisar entender como as forças se somam quando temos múltiplas cargas e como determinar onde essa força atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
Onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante eletrostática ,
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas.

Passo 3

No nosso caso, temos a carga no eixo e as duas cargas no eixo nas posições e . Vamos chamar a posição da carga de . As distâncias entre e cada serão iguais, pois ambas estão a uma distância do eixo .

Passo 4

Vamos calcular a distância entre e uma das cargas . Usando o Teorema de Pitágoras:
Então, a força exercida por uma carga sobre é:

Passo 5

Agora, precisamos considerar as direções dessas forças. Como as duas cargas estão em posições simétricas em relação a , as componentes verticais das forças (ao longo do eixo ) vão se cancelar, e apenas as componentes horizontais (ao longo do eixo ) vão se somar.

Passo 6

A componente horizontal da força de uma das cargas sobre é dada por:
Como são duas cargas , a força total na direção é:

Passo 7

Para encontrar o valor máximo dessa força, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Calculando a derivada:

Passo 8

Aplicando a regra do quociente e simplificando, encontramos que o máximo ocorre quando:
Então, a posição onde a força é máxima está a no eixo .

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 10

Agora, substituímos :
Notamos que , ajustando os termos para combinar com a forma apresentada no enunciado:

Resposta

O valor máximo da força elétrica sobre a carga no eixo é:

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