Uma carga Q é fracionada em duas partes, Q-q e q. Determine a relação entre q e Q para que, quando separadas, as duas partes apresentem máxima repulsão. (Resp. q=Q / 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga total que é dividida em duas partes: e . Nosso objetivo aqui é descobrir qual o valor de em relação a que faz com que, quando essas duas partes são separadas, elas tenham a máxima repulsão entre si. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força elétrica e energia potencial elétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a força de repulsão entre duas cargas elétricas é descrita pela Lei de Coulomb. Essa lei nos diz que a força F = ke q1 q2r^2 entre duas cargas puntiformes é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A fórmula é:
onde:
  • é a constante eletrostática,
  • e são as cargas,
  • é a distância entre elas.

Passo 3

Como queremos maximizar a repulsão, precisamos maximizar a força q cdot (Q - q) = Qq - q^2 . Observando a fórmula, percebemos que para maximizar , devemos maximizar o produto . No nosso caso, e , então o produto fica:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor de f(q) = Qq - q^2 que torna esse produto máximo. Para isso, vamos tratar essa expressão como uma função e calcular seu ponto de máximo. Vamos chamar a função de dfdq = Q - 2q = 0 :
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a derivada a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação da derivada:
Q - 2q = 0 2q = Q q = Q2

Resposta

Para que as duas partes q = Q2 e apresentem máxima repulsão, a carga deve ser metade da carga total , ou seja:

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