Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelaram o crescimento da economia norteamericana durante o período de 1899-1922. Eles consideraram uma visão simplificada da economia em que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função utilizada para modelar a produção era da forma
(a) Um fabricante modelou sua função
da produção anual( o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
onde
é o número de horas trabalhadas (em milhares) e
é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre
e interprete-o.
(b) Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
a produção dobrará se as quantidades de trabalho e de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica
(b) Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre a função de produção de Cobb-Douglas, que relaciona a produção com o trabalho (
) e o capital (
) investido. A gente vai precisar entender como aplicar essa função para calcular a produção em determinados valores de
e
, além de verificar como a produção muda quando dobramos esses valores.
Passo 2
Vamos para a parte (a). A função de produção dada é:
Queremos encontrar
, ou seja, a produção quando
(milhares de horas trabalhadas) e
(milhões de dólares investidos).
Passo 3
Primeiro, substituímos os valores de
e
na função:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
Usando uma calculadora:
Passo 5
Agora, multiplicamos tudo:
Primeiro,
Depois,
Passo 6
Então,
milhões de dólares.
Passo 7
Chegando à interpretação: Quando são investidas 120 mil horas de trabalho e 20 milhões de dólares em capital, a produção anual prevista pela função é de aproximadamente 100 milhões de dólares.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). A função de produção dada é:
Queremos verificar se, ao dobrar
e
, a produção também dobra.
Passo 9
Vamos dobrar
e
. Ou seja, substituir
por
e
por
na função:
Passo 10
Simplificando os expoentes:
Passo 11
Então, para essa função específica, dobrar
e
de fato dobra a produção.
Passo 12
Agora, vamos verificar se isso vale para uma função genérica:
Dobrar
e
:
Passo 13
Portanto, para qualquer função de produção de Cobb-Douglas na forma
, dobrar
e
sempre resulta em uma produção dobrada.
Resposta
(a)
milhões de dólares, significando que com 120 mil horas trabalhadas e 20 milhões em capital, a produção anual é de cerca de 100 milhões de dólares.
(b) Sim, dobrar tanto o trabalho (
) quanto o capital (
) na função de Cobb-Douglas dada resulta em dobrar a produção. Isso também é válido para qualquer função de produção genérica dessa forma, ou seja,
.
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.
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.
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.
(b) Encontre e interprete-a.
© Qual o domínio de ?
(a) Expresse o custo da fabricação de
(b) Encontre
© Qual o domínio de