Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelaram o crescimento da economia norteamericana durante o período de 1899-1922. Eles consideraram uma visão simplificada da economia em que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função utilizada para modelar a produção era da forma
(a) Um fabricante modelou sua função da produção anual( o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
onde é o número de horas trabalhadas (em milhares) e é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre e interprete-o.
(b) Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
a produção dobrará se as quantidades de trabalho e de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre a função de produção de Cobb-Douglas, que relaciona a produção com o trabalho ( ) e o capital ( ) investido. A gente vai precisar entender como aplicar essa função para calcular a produção em determinados valores de e , além de verificar como a produção muda quando dobramos esses valores.

Passo 2

Vamos para a parte (a). A função de produção dada é:
Queremos encontrar , ou seja, a produção quando (milhares de horas trabalhadas) e (milhões de dólares investidos).

Passo 3

Primeiro, substituímos os valores de e na função:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
Usando uma calculadora:

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo:
Primeiro,
Depois,

Passo 6

Então, milhões de dólares.

Passo 7

Chegando à interpretação: Quando são investidas 120 mil horas de trabalho e 20 milhões de dólares em capital, a produção anual prevista pela função é de aproximadamente 100 milhões de dólares.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). A função de produção dada é:
Queremos verificar se, ao dobrar e , a produção também dobra.

Passo 9

Vamos dobrar e . Ou seja, substituir por e por na função:

Passo 10

Simplificando os expoentes:

Passo 11

Então, para essa função específica, dobrar e de fato dobra a produção.

Passo 12

Agora, vamos verificar se isso vale para uma função genérica:
Dobrar e :

Passo 13

Portanto, para qualquer função de produção de Cobb-Douglas na forma , dobrar e sempre resulta em uma produção dobrada.

Resposta

(a) milhões de dólares, significando que com 120 mil horas trabalhadas e 20 milhões em capital, a produção anual é de cerca de 100 milhões de dólares.
(b) Sim, dobrar tanto o trabalho ( ) quanto o capital ( ) na função de Cobb-Douglas dada resulta em dobrar a produção. Isso também é válido para qualquer função de produção genérica dessa forma, ou seja, .

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(b) Encontre e interprete-a.
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