Use o Teorema de Stokes para calcular . é o cone , orientado na direção do eixo positivo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A questão pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é dado por . A superfície é um cone definido por no intervalo , e a orientação é na direção positiva do eixo . Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que para uma superfície orientada positivamente e com bordo , temos:
Isso significa que podemos trocar a integral de superfície pela integral de linha ao redor do contorno da superfície. Então, nossa estratégia será encontrar o contorno da superfície e calcular a integral de linha .

Passo 3

Vamos identificar o contorno do cone . O cone é definido pela equação com . Quando , temos a base do cone. Para encontrar , vamos fixar na equação:
Essa é a equação de um hiperboloide de uma folha, mas como estamos no contexto do cone, o contorno será uma curva fechada na base do cone, que é um círculo no espaço tridimensional.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o contorno . Como está na base do cone quando , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
onde varia de a . Essa parametrização descreve um círculo de raio 2 no plano .

Passo 5

Com a parametrização de , vamos calcular a integral de linha . Primeiro, precisamos expressar e em termos de .
Dado que , substituindo , e , temos:
Agora, o vetor diferencial é dado por:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, vamos integrar de a :
Vamos resolver cada integral separadamente:

Resposta

A integral de superfície é igual a zero.

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(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .