Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S. F(x, y, z)=(tan ^-1(x^2 y z^2), x^2 y, x^2 z^2), S é o cone x=raizy^2-z^2, 0 <= x <= 2, orientado na direção do eixo positivo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS rot F cdot dS, onde o campo vetorial F é dado por (tan^-1(x^2 y z^2), x^2 y, x^2 z^2). A superfície S é um cone definido por x = raizy^2 - z^2 no intervalo 0 <= x <= 2, e a orientação é na direção positiva do eixo x. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que para uma superfície S orientada positivamente e com bordo C, temos:
integral duplaS rot F cdot dS = ointC F cdot dr
Isso significa que podemos trocar a integral de superfície pela integral de linha ao redor do contorno da superfície. Então, nossa estratégia será encontrar o contorno C da superfície S e calcular a integral de linha ointC F cdot dr.

Passo 3

Vamos identificar o contorno C do cone S. O cone é definido pela equação x = raizy^2 - z^2 com 0 <= x <= 2. Quando x = 2, temos a base do cone. Para encontrar C, vamos fixar x = 2 na equação:
2 = raizy^2 - z^2 implies y^2 - z^2 = 4
Essa é a equação de um hiperboloide de uma folha, mas como estamos no contexto do cone, o contorno C será uma curva fechada na base do cone, que é um círculo no espaço tridimensional.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o contorno C. Como C está na base do cone quando x=2, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
y = 2 cos theta z = 2 sin theta x = 2
onde theta varia de 0 a 2pi. Essa parametrização descreve um círculo de raio 2 no plano x=2.

Passo 5

Com a parametrização de C, vamos calcular a integral de linha ointC F cdot dr. Primeiro, precisamos expressar F e dr em termos de theta.
Dado que F(x, y, z) = (tan^-1(x^2 y z^2), x^2 y, x^2 z^2), substituindo x=2, y=2 cos theta e z=2 sin theta, temos:
F = (tan^-1(2^2 cdot 2 cos theta cdot (2 sin theta)^2), 2^2 cdot 2 cos theta, 2^2 cdot (2 sin theta)^2) = (tan^-1(16 cos theta sin^2 theta), 8 cos theta, 16 sin^2 theta)
Agora, o vetor diferencial dr é dado por:
dr = (0, dydtheta, dzdtheta) dtheta = (0, -2 sin theta, 2 cos theta) dtheta

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (tan^-1(16 cos theta sin^2 theta))(0) + (8 cos theta)(-2 sin theta) + (16 sin^2 theta)(2 cos theta) = 0 - 16 cos theta sin theta + 32 cos theta sin^2 theta = cos theta sin theta (-16 + 32 sin theta)

Passo 7

Agora, vamos integrar de 0 a 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi cos theta sin theta (-16 + 32 sin theta) dtheta = integral0^2pi (-16 cos theta sin theta + 32 cos theta sin^2 theta) dtheta
Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi -16 cos theta sin theta dtheta = -16 cdot 12 integral0^2pi sin 2theta dtheta = 0
  2. integral0^2pi 32 cos theta sin^2 theta dtheta = 32 integral0^2pi cos theta (1 - cos^2 theta) dtheta = 32 ( integral0^2pi cos theta dtheta - integral0^2pi cos^3 theta dtheta ) = 0

Resposta

A integral de superfície integral duplaS rot F cdot dS é igual a zero.

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