Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é o cone
, orientado na direção do eixo positivo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial
é dado por
. A superfície
é um cone definido por
no intervalo
, e a orientação é na direção positiva do eixo
. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície com integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que para uma superfície
orientada positivamente e com bordo
, temos:
Isso significa que podemos trocar a integral de superfície pela integral de linha ao redor do contorno da superfície. Então, nossa estratégia será encontrar o contorno
da superfície
e calcular a integral de linha
.
Passo 3
Vamos identificar o contorno
do cone
. O cone é definido pela equação
com
. Quando
, temos a base do cone. Para encontrar
, vamos fixar
na equação:
Essa é a equação de um hiperboloide de uma folha, mas como estamos no contexto do cone, o contorno
será uma curva fechada na base do cone, que é um círculo no espaço tridimensional.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar o contorno
. Como
está na base do cone quando
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
onde
varia de
a
. Essa parametrização descreve um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 5
Com a parametrização de
, vamos calcular a integral de linha
. Primeiro, precisamos expressar
e
em termos de
.
Dado que
, substituindo
,
e
, temos:
Agora, o vetor diferencial
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, vamos integrar de
a
:
Vamos resolver cada integral separadamente:
Resposta
A integral de superfície
é igual a zero.