Uma empresa fabrica caixas de papelão de dois tamanhos: Pequena e grande. O custo é de \$ para fabricar uma caixa pequena e para fabricar uma caixa pequena e para fabricar uma caixa grande. Os custos fixos são de 4.50.
(a) Expresse o custo da fabricação de \$ caixas pequenas e (a) Expresse o custo da fabricação de caixas grandes como uma função de duas variáveis : caixas pequenas e.
(b) Encontre caixas grandes como uma função de duas variáveis e interprete-a.
© Qual o domínio de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma empresa que fabrica caixas de papelão de dois tamanhos: pequenas e grandes. O custo para fabricar uma caixa pequena é de \$ e para uma grande é de . Além disso, a empresa tem custos fixos de 4.50. Vamos precisar usar funções de duas variáveis para resolver essa questão, representando o custo total de fabricação em função do número de caixas pequenas ( \$) e grandes ( ).

Passo 2

Agora, vamos criar a função que representa o custo total. A função terá duas partes: os custos variáveis, que dependem de quantas caixas são produzidas, e os custos fixos, que são os mesmos independentemente da quantidade produzida.
  • Custos Variáveis:
    • Para cada caixa pequena produzida, o custo aumenta em \$. Então, para caixas pequenas, o custo será .
    • Para cada caixa grande produzida, o custo aumenta em . Então, para 4.50 caixas grandes, o custo será y.
  • Custos Fixos:
    • São , independentemente de quantas caixas são produzidas.
Então, a função que representa o custo total \$ em função de e em função de é:
e

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b) da questão. Queremos encontrar o valor da função para caixas pequenas e caixas grandes. Ou seja, vamos calcular .
Substituindo na função:
Vamos calcular cada parte:
  1. Somando com os custos fixos:
Então, .
Isso significa que o custo total para fabricar 3000 caixas pequenas e 4000 caixas grandes é de \$.

Passo 4

Para a parte ©, precisamos determinar o domínio da função f(x, y). O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada para os quais a função está definida.
No nosso caso, x representa o número de caixas pequenas e y o número de caixas grandes. Como não podemos fabricar um número negativo de caixas, tanto x quanto y devem ser números não negativos.
Então, o domínio da função é:
Isso significa que qualquer combinação de x e y onde ambos são maiores ou iguais a zero está dentro do domínio da função.

Resposta

(a) A função que representa o custo é .
(b) , ou seja, o custo total é de \$.
© O domínio de é .

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