Uma empresa fabrica caixas de papelão de dois tamanhos: Pequena e grande. O custo é de
para fabricar uma caixa pequena e
para fabricar uma caixa grande. Os custos fixos são de
.
(a) Expresse o custo da fabricação de
caixas pequenas e
caixas grandes como uma função de duas variáveis :
.
(b) Encontre
e interprete-a.
© Qual o domínio de
?
(a) Expresse o custo da fabricação de
(b) Encontre
© Qual o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma empresa que fabrica caixas de papelão de dois tamanhos: pequenas e grandes. O custo para fabricar uma caixa pequena é de
e para uma grande é de
. Além disso, a empresa tem custos fixos de
. Vamos precisar usar funções de duas variáveis para resolver essa questão, representando o custo total de fabricação em função do número de caixas pequenas (
) e grandes (
).
Passo 2
Agora, vamos criar a função que representa o custo total. A função terá duas partes: os custos variáveis, que dependem de quantas caixas são produzidas, e os custos fixos, que são os mesmos independentemente da quantidade produzida.
-
Custos Variáveis:
- Para cada caixa pequena produzida, o custo aumenta em
. Então, para caixas pequenas, o custo será . - Para cada caixa grande produzida, o custo aumenta em
. Então, para caixas grandes, o custo será .
- Para cada caixa pequena produzida, o custo aumenta em
-
Custos Fixos:
- São
, independentemente de quantas caixas são produzidas.
- São
Então, a função que representa o custo total
em função de
e
é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b) da questão. Queremos encontrar o valor da função para
caixas pequenas e
caixas grandes. Ou seja, vamos calcular
.
Substituindo na função:
Vamos calcular cada parte:
-
-
- Somando com os custos fixos:
Então,
.
Isso significa que o custo total para fabricar 3000 caixas pequenas e 4000 caixas grandes é de
.
Passo 4
Para a parte ©, precisamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada para os quais a função está definida.
No nosso caso,
representa o número de caixas pequenas e
o número de caixas grandes. Como não podemos fabricar um número negativo de caixas, tanto
quanto
devem ser números não negativos.
Então, o domínio da função é:
Isso significa que qualquer combinação de
e
onde ambos são maiores ou iguais a zero está dentro do domínio da função.
Resposta
(a) A função que representa o custo é
.
(b) , ou seja, o custo total é de
.
© O domínio de é
.
(b)
© O domínio de
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Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é o cone
, orientado na direção do eixo positivo
.
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelaram o crescimento da economia norteamericana durante o período de 1899-1922. Eles consideraram uma visão simplificada da economia em que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função utilizada para modelar a produção era da forma
(a) Um fabricante modelou sua função
da produção anual( o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
onde
é o número de horas trabalhadas (em milhares) e
é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre
e interprete-o.
(b) Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
(b) Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
a produção dobrará se as quantidades de trabalho e de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica
Determine e faça um esboço do domínio da função:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Uma lata cilíndrica e sem tampa tem volume de
. Determine as dimensões (raio
e altura h) desta lata de modo que a quantidade de material usado na sua fabricação seja mínima.