Uma empresa fabrica caixas de papelão de dois tamanhos: Pequena e grande. O custo é de para fabricar uma caixa pequena e para fabricar uma caixa grande. Os custos fixos são de .
(a) Expresse o custo da fabricação de caixas pequenas e caixas grandes como uma função de duas variáveis : .
(b) Encontre e interprete-a.
© Qual o domínio de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma empresa que fabrica caixas de papelão de dois tamanhos: pequenas e grandes. O custo para fabricar uma caixa pequena é de e para uma grande é de . Além disso, a empresa tem custos fixos de . Vamos precisar usar funções de duas variáveis para resolver essa questão, representando o custo total de fabricação em função do número de caixas pequenas ( ) e grandes ( ).

Passo 2

Agora, vamos criar a função que representa o custo total. A função terá duas partes: os custos variáveis, que dependem de quantas caixas são produzidas, e os custos fixos, que são os mesmos independentemente da quantidade produzida.
  • Custos Variáveis:
    • Para cada caixa pequena produzida, o custo aumenta em . Então, para caixas pequenas, o custo será .
    • Para cada caixa grande produzida, o custo aumenta em . Então, para caixas grandes, o custo será .
  • Custos Fixos:
    • São , independentemente de quantas caixas são produzidas.
Então, a função que representa o custo total em função de e é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b) da questão. Queremos encontrar o valor da função para caixas pequenas e caixas grandes. Ou seja, vamos calcular .
Substituindo na função:
Vamos calcular cada parte:
  1. Somando com os custos fixos:
Então, .
Isso significa que o custo total para fabricar 3000 caixas pequenas e 4000 caixas grandes é de .

Passo 4

Para a parte ©, precisamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada para os quais a função está definida.
No nosso caso, representa o número de caixas pequenas e o número de caixas grandes. Como não podemos fabricar um número negativo de caixas, tanto quanto devem ser números não negativos.
Então, o domínio da função é:
Isso significa que qualquer combinação de e onde ambos são maiores ou iguais a zero está dentro do domínio da função.

Resposta

(a) A função que representa o custo é .
(b) , ou seja, o custo total é de .
© O domínio de é .

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(b) Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas
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Determine e faça um esboço do domínio da função:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
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