Um homem de 1,80 m de altura se afasta de um farol, que tem 4,5 m de altura em relação ao solo, com uma velocidade de 4,5 m/s. Quando o homem estiver a 6 m do farol, determine a velocidade de crescimento de sua sombra e o comprimento da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um homem de 1,80 metros que está se afastando de um farol de 4,5 metros de altura. Ele está se movendo a uma velocidade de 4,5 metros por segundo. Quando ele estiver a 6 metros do farol, queremos descobrir quão rápido a sombra dele está crescendo e quanto mede essa sombra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de semelhança de triângulos e taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar melhor a situação. Imagine um triângulo formado pelo farol e a ponta da sombra do homem. Outro triângulo menor será formado pela altura do homem e o comprimento da sombra. Como os triângulos são semelhantes, podemos relacionar suas proporções.

Passo 3

Vamos definir as variáveis:
  • : distância do homem ao farol (em metros).
  • : comprimento da sombra do homem (em metros).
Sabemos que a altura do farol é 4,5 m e a do homem é 1,8 m. A distância do homem ao farol ( ) está aumentando a uma taxa de .

Passo 4

Usando a similaridade dos triângulos, a relação entre as alturas e as distâncias é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando os dois lados por :
Subtraindo de ambos os lados:
Então, temos:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a taxa de crescimento da sombra . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o comprimento da sombra quando :

Resposta

Quando o homem está a 6 metros do farol, a sombra dele está crescendo a uma taxa de 3 metros por segundo e o comprimento da sombra é de 4 metros.

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