Um homem de
de altura se afasta de um farol, que tem
de altura em relação ao solo, com uma velocidade de
. Quando o homem estiver a 6 m do farol, determine a velocidade de crescimento de sua sombra e o comprimento da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um homem de 1,80 metros que está se afastando de um farol de 4,5 metros de altura. Ele está se movendo a uma velocidade de 4,5 metros por segundo. Quando ele estiver a 6 metros do farol, queremos descobrir quão rápido a sombra dele está crescendo e quanto mede essa sombra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de semelhança de triângulos e taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar melhor a situação. Imagine um triângulo formado pelo farol e a ponta da sombra do homem. Outro triângulo menor será formado pela altura do homem e o comprimento da sombra. Como os triângulos são semelhantes, podemos relacionar suas proporções.
Passo 3
Vamos definir as variáveis:
-
: distância do homem ao farol (em metros). -
: comprimento da sombra do homem (em metros).
Sabemos que a altura do farol é 4,5 m e a do homem é 1,8 m. A distância do homem ao farol (
) está aumentando a uma taxa de
.
Passo 4
Usando a similaridade dos triângulos, a relação entre as alturas e as distâncias é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando os dois lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, temos:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a taxa de crescimento da sombra
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação ao tempo
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o comprimento da sombra
quando
:
Resposta
Quando o homem está a 6 metros do farol, a sombra dele está crescendo a uma taxa de 3 metros por segundo e o comprimento da sombra é de 4 metros.