(1-x) y'' + x y' - y = g(x), 0 < x < 1; y1(x) = e^x, y2(x) = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação diferencial:
E também me deu duas soluções para a equação homogênea (quando ):
Então, nosso foco é resolver essa equação diferencial. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e soluções da equação homogênea e particular. Vou te guiar passo a passo para achar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A equação geral pode ser escrita como:
Onde, no nosso caso:
  • é a função que está do lado direito da equação.
Como já temos duas soluções da equação homogênea ( ), podemos usar essas soluções para encontrar a solução geral da equação completa.

Passo 3

A solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é a soma da solução geral da equação homogênea ( ) com uma solução particular ( ) da equação completa:
Nos foi dado e como soluções da equação homogênea. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para isso, geralmente usamos o método dos coeficientes indeterminados ou o método de variação de parâmetros. Como já temos as soluções da equação homogênea, vou optar pelo método de variação de parâmetros, que é mais geral.

Passo 5

No método de variação de parâmetros, assumimos que os coeficientes e na solução homogênea não são constantes, mas sim funções de . Então, a solução particular é dada por:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 6

Precisamos encontrar e . Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o Wronskiano das soluções e , dado por:

Passo 7

Vamos calcular o Wronskiano :
Primeiro, calculemos as derivadas:
  • então
  • então
Agora, o Wronskiano:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão das derivadas de e :

Passo 9

Agora, integramos e para encontrar e :
A integração vai depender da forma específica de . Como não está especificada no enunciado que você me deu, não podemos prosseguir com a integração sem essa informação.

Resposta

Para resolver a equação diferencial dada, a solução geral é:
Onde é a solução particular encontrada através do método de variação de parâmetros, dependendo da função definida na equação original.

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