Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação diferencial:
E também me deu duas soluções para a equação homogênea (quando
):
Então, nosso foco é resolver essa equação diferencial. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e soluções da equação homogênea e particular. Vou te guiar passo a passo para achar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A equação geral pode ser escrita como:
Onde, no nosso caso:
-
-
-
-
é a função que está do lado direito da equação.
Como já temos duas soluções da equação homogênea (
), podemos usar essas soluções para encontrar a solução geral da equação completa.
Passo 3
A solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é a soma da solução geral da equação homogênea (
) com uma solução particular (
) da equação completa:
Nos foi dado
e
como soluções da equação homogênea. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Para isso, geralmente usamos o método dos coeficientes indeterminados ou o método de variação de parâmetros. Como já temos as soluções da equação homogênea, vou optar pelo método de variação de parâmetros, que é mais geral.
Passo 5
No método de variação de parâmetros, assumimos que os coeficientes
e
na solução homogênea não são constantes, mas sim funções de
. Então, a solução particular é dada por:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 6
Precisamos encontrar
e
. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
é o Wronskiano das soluções
e
, dado por:
Passo 7
Vamos calcular o Wronskiano
:
Primeiro, calculemos as derivadas:
-
então -
então
Agora, o Wronskiano:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão das derivadas de
e
:
Passo 9
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
A integração vai depender da forma específica de
. Como
não está especificada no enunciado que você me deu, não podemos prosseguir com a integração sem essa informação.
Resposta
Para resolver a equação diferencial dada, a solução geral é:
Onde
é a solução particular encontrada através do método de variação de parâmetros, dependendo da função
definida na equação original.