Em 1968, a nave espacial Apolo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 h 59 min . Sabendo que o raio da Lua é de 1738 km , utilize esses dados para calcular a massa da Lua.
Use a constante gravitacional G=6,67 times 10^-11 N cdot m^2 / kg^2. (Colocar resultado com três algarismos significativos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a massa da Lua usando a órbita da Apollo 8. A matéria aqui é Gravitação e Movimento Circular. A gente vai precisar das fórmulas que relacionam o período de uma órbita com a massa do corpo central, que nesse caso é a Lua.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o raio total da órbita da Apollo 8. Sabemos que a altitude é de 113 km e o raio da Lua é de 1738 km. Então, o raio total r = 1738,km + 113,km = 1851,km é a soma desses dois valores:
r = 1851,km times 1000,mkm = 1,851,000,m
Mas vamos converter esse valor para metros, porque a constante gravitacional está em metros:

Passo 3

O período T = 1,hora times 3600,shora + 59,minutos times 60,sminuto = 7140,s está dado como 1 hora e 59 minutos. Vamos converter isso todo para segundos:

Passo 4

A gente vai usar a fórmula do Período Orbital para órbitas circulares:
T = 2pi raizr^3G M
Queremos isolar a massa M = 4pi^2 r^3G T^2 da Lua. Vamos rearranjar a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
M = 4 pi^2 (1,851,000,m)^36,67 times 10^-11,Ncdotm^2/kg^2 times (7140,s)^2
Calculando passo a passo:
  1. Calcular (1,851,000)^3 = 6,34 times 10^18,m^3 :
6,67 times 10^-11 times (7140)^2 = 3,39 times 10^-3,Ncdotm^2/kg^2 cdot s^2
  1. Calcular o denominador M = 4 times 9,87 times 6,34 times 10^183,39 times 10^-3 approx 7,35 times 10^22,kg :
  1. Agora, substituir na fórmula:

Resposta

A massa da Lua é aproximadamente kg.

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