• Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração angular constante, até alcançar a rotação de 20 pi (rad/s). Depois de completar 120% (rad), a sua velocidade angular é de 30 pi ( rad / s ).
    (a) Calcule a aceleração angular.
    (b) Calcule o tempo necessário para completar 120 pi(rad).
    © Calcule o tempo necessário para alcançar a rotação de 20 pi(rad / s).
    (d) Calcule o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 20 pi(rad / s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de cinemática rotacional. O enunciado fala sobre um disco que começa parado, acelera angularmente até uma certa velocidade, e depois continua girando. A gente vai precisar usar fórmulas de movimento angular com aceleração constante. Vamos calcular a aceleração angular, os tempos para certas rotações e a quantidade de revoluções feitas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração angular. Sabemos que a aceleração angular ( omegaf = omegai + alpha t ) é constante e que o disco parte do repouso até atingir uma velocidade angular final ( alpha = omegaft ) de theta = omegai t + 12 alpha t^2 .
A fórmula que relaciona velocidade angular final, velocidade inicial, aceleração angular e tempo é:
theta = 12 alpha t^2
Como o disco parte do repouso, , então:
Mas também temos que relacionar o deslocamento angular ( ) com a aceleração. A fórmula é:
Como :
Agora, sabemos que após completar , a velocidade é . Podemos usar essas informações para encontrar .

Passo 3

Vamos chamar o primeiro trecho de aceleração até omegaf^2 = omegai^2 + 2alpha theta e depois continua acelerando até (30pi)^2 = (20pi)^2 + 2alpha (120pi) . Mas pelo enunciado, parece que o disco atinge 900pi^2 = 400pi^2 + 240pi alpha e depois, após 900pi^2 - 400pi^2 = 240pi alpha , alcança 500pi^2 = 240pi alpha .
Usando a fórmula da velocidade final:
alpha = 500pi^2240pi = 500pi240 = 25pi12 , rad/s^2
Novamente, , , e . Substituindo:
Vamos resolver para :

Passo 4

Agora que temos a aceleração angular theta = 12 alpha t^2 , vamos calcular o tempo necessário para completar 120pi = 12 cdot 25pi12 cdot t^2 .
Usando a fórmula do deslocamento angular:
120pi = 25pi24 t^2
Substituindo os valores:
t^2 = 120pi cdot 2425pi = 288025 = 115.2
t = raiz115.2 approx 10.73 , s

Passo 5

Agora vamos calcular o tempo necessário para alcançar a rotação de omegaf = omegai + alpha t . Sabemos que o disco parte do repouso ( 20pi = 0 + 25pi12 t ) e acelera até t = 20pi cdot 1225pi = 24025 = 9.6 , s com .
Usando a fórmula:

Passo 6

Por último, vamos calcular o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de theta = 12 alpha t^2 .
Primeiro, encontramos o deslocamento angular nesse período usando:
theta = 12 cdot 25pi12 cdot (9.6)^2
theta = 25pi24 cdot 92.16
theta = 25pi cdot 92.1624 = 2304pi24 = 96pi , rad
Revoluções = 96pi2pi = 48 , revoluções
Agora, convertendo radianos para revoluções ( çã):
çõçõ

Resposta

(a) A aceleração angular é .
(b) O tempo necessário para completar é aproximadamente .
© O tempo necessário para alcançar é .
(d) O número de revoluções desde o repouso até é revoluções.

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