• Uma esfera sólida de peso igual a sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a . Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de .
    (a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado?
    (b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera sólida rolando para cima em um plano inclinado. A gente tem alguns dados:
  • Peso da esfera:
  • Ângulo de inclinação do plano:
  • Velocidade inicial do centro de massa na base:
  • Momento de inércia da esfera:
Vamos usar conceitos de energia cinética e conservação de energia para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, para a parte (a), queremos encontrar a energia cinética da esfera na base do plano inclinado. Como a esfera está rolando, a energia cinética total é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação.
A energia cinética de translação é dada por:
E a energia cinética de rotação é:
Como a esfera está rolando sem deslizar, a velocidade angular está relacionada à velocidade linear por:

Passo 3

Vamos substituir na expressão de :

Passo 4

Agora, somando as duas energias cinéticas para obter a energia cinética total:

Passo 5

Mas ainda não temos o valor numérico, pois precisamos do valor da massa . Sabemos que o peso é dado por:
Onde . Então:

Passo 6

Agora, substituindo e na expressão de :

Resposta

A energia cinética da esfera na base do plano inclinado é aproximadamente .

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