1a. (a) Como é definido o número
?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de
?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos duas partes:
1a. Definir o número
.
1b. Calcular dois limites usando uma calculadora e ver o que isso nos diz sobre o valor de .
1b. Calcular dois limites usando uma calculadora e ver o que isso nos diz sobre o valor de
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e funções exponenciais.
Passo 2
Parte 1a: Definindo o número
O número
é uma constante matemática muito importante, aproximadamente igual a 2,71828. Ele é a base dos logaritmos naturais e aparece em muitas áreas da matemática, especialmente em cálculo, crescimento exponencial e finanças.
Uma das formas de definir
é através do limite:
Isso significa que, conforme
cresce sem limites, a expressão
se aproxima cada vez mais de
.
Passo 3
Parte 1b: Calculando os limites
Vamos calcular os seguintes limites usando uma calculadora, com precisão até a segunda casa decimal:
Primeiro, precisamos entender que esse tipo de limite está relacionado à derivada da função
no ponto
. A derivada de
é
, e no ponto
, isso se torna
.
Então, o limite
é igual a
.
Passo 4
Vamos calcular cada limite:
- Para
:
Usando a calculadora:
Arredondando para duas casas decimais:
- Para
:
Usando a calculadora:
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta
Os limites calculados são aproximadamente
e
, respectivamente. Isso sugere que o valor de
está entre 2,7 e 2,8, já que os limites se aproximam de
e sabemos que
é a base onde
.
Exercícios relacionados
Seja
uma familia de intervalos abertos, todos contendo o ponto
. Mostre que
é um intervalo aberto.
Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que
é contínua em
se, e somente se,
for um conjunto aberto, para todo aberto
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto
especificado, se existir:
(a) .
(a)
Um epidemiologista observa que certa doença se dissemina de tal forma que,
semanas após o inicio de um surto,
centenas de casos novos são relatados, em que
c) As autoridades consideraram a epidemia sob controle quando a taxa de aumento de número de casos é minima. Em que semana isso ocorree qual é o número de casos nessa semana?