1a. (a) Como é definido o número e ?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
lim h 0 2,7^h-1h e lim h 0 2,8^h-1h
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de e ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos duas partes:
1a. Definir o número .
1b. Calcular dois limites usando uma calculadora e ver o que isso nos diz sobre o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e funções exponenciais.

Passo 2

Parte 1a: Definindo o número e = limn to infty (1 + 1n)^n
O número é uma constante matemática muito importante, aproximadamente igual a 2,71828. Ele é a base dos logaritmos naturais e aparece em muitas áreas da matemática, especialmente em cálculo, crescimento exponencial e finanças.
Uma das formas de definir é através do limite:
Isso significa que, conforme cresce sem limites, a expressão se aproxima cada vez mais de .

Passo 3

Parte 1b: Calculando os limites
Vamos calcular os seguintes limites usando uma calculadora, com precisão até a segunda casa decimal:
limh to 0 2,7^h - 1h e limh to 0 2,8^h - 1h
Primeiro, precisamos entender que esse tipo de limite está relacionado à derivada da função no ponto . A derivada de é , e no ponto , isso se torna .
Então, o limite é igual a .

Passo 4

Vamos calcular cada limite:
  1. Para limh to 0 2,7^h - 1h = ln(2,7) :
ln(2,7) approx 0,9933
Usando a calculadora:
approx 0,99
Arredondando para duas casas decimais:
limh to 0 2,8^h - 1h = ln(2,8)
  1. Para ln(2,8) approx 1,0323 :
approx 1,03
Usando a calculadora:
Arredondando para duas casas decimais:

Resposta

Os limites calculados são aproximadamente e , respectivamente. Isso sugere que o valor de está entre 2,7 e 2,8, já que os limites se aproximam de e sabemos que é a base onde .

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