Uma função , onde , é dita contínua no ponto , se Mostre que é contínua em se, e somente se, for um conjunto aberto, para todo aberto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde . Queremos mostrar que é contínua em se, e somente se, para todo conjunto aberto , o pré-imagem é um conjunto aberto em . Aqui, vamos usar conceitos de continuidade de funções e topologia básica sobre conjuntos abertos. Precisamos entender o que significa uma função ser contínua e como os conjuntos abertos se comportam em relação a essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade usando o critério -. A função é contínua no ponto se, para todo , existe um tal que, sempre que (com ), então . Essa definição nos diz que podemos fazer com que fique tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Agora, vamos considerar conjuntos abertos. Um conjunto é aberto se, para todo ponto , existe um intervalo ao redor de que está completamente contido em . Nosso objetivo é relacionar essa definição com a continuidade de através dos pré-imagens dos conjuntos abertos.

Passo 4

Vamos dividir a prova em duas partes para mostrar a equivalência: 1. **Se é contínua, então para todo conjunto aberto , é aberto em .** 2. **Se para todo conjunto aberto , é aberto em , então é contínua.**

Passo 5

**Parte 1: contínua implica aberto** Assume que é contínua. Seja um conjunto aberto em . Queremos mostrar que é aberto em . Pela definição de continuidade, para cada ponto , existe um tal que se , então , onde é escolhido de modo que esteja dentro de . Como é aberto, podemos escolher de forma que todo esse intervalo esteja dentro de . Assim, existe um intervalo ao redor de que está completamente contido em , o que mostra que é aberto.

Passo 6

**Parte 2: aberto para todo aberto implica contínua** Agora, suponha que para todo conjunto aberto , o pré-imagem é aberto em . Queremos mostrar que é contínua. Para isso, vamos usar a definição de continuidade. Seja e . O intervalo aberto é um conjunto aberto em . Pelo nosso pressuposto, é aberto em . Isso significa que existe um tal que, se , então , ou seja, . Isso exatamente atende à definição de continuidade, mostrando que é contínua em .

Resposta

Assim, mostramos que é contínua em se, e somente se, para todo conjunto aberto , o pré-imagem é um conjunto aberto em .

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