Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que
é contínua em
se, e somente se,
for um conjunto aberto, para todo aberto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
. Queremos mostrar que
é contínua em
se, e somente se, para todo conjunto aberto
, o pré-imagem
é um conjunto aberto em
.
Aqui, vamos usar conceitos de continuidade de funções e topologia básica sobre conjuntos abertos. Precisamos entender o que significa uma função ser contínua e como os conjuntos abertos se comportam em relação a essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade usando o critério
-
. A função
é contínua no ponto
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
(com
), então
.
Essa definição nos diz que podemos fazer com que
fique tão perto de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar conjuntos abertos. Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um intervalo ao redor de
que está completamente contido em
.
Nosso objetivo é relacionar essa definição com a continuidade de
através dos pré-imagens dos conjuntos abertos.
Passo 4
Vamos dividir a prova em duas partes para mostrar a equivalência:
- Se
é contínua, então para todo conjunto aberto , é aberto em . - Se para todo conjunto aberto
, é aberto em , então é contínua.
Passo 5
Parte 1:
contínua implica
aberto
Assume que
é contínua. Seja
um conjunto aberto em
. Queremos mostrar que
é aberto em
.
Pela definição de continuidade, para cada ponto
, existe um
tal que se
, então
, onde
é escolhido de modo que
esteja dentro de
.
Como
é aberto, podemos escolher
de forma que todo esse intervalo esteja dentro de
. Assim, existe um intervalo ao redor de
que está completamente contido em
, o que mostra que
é aberto.
Passo 6
Parte 2:
aberto para todo
aberto implica
contínua
Agora, suponha que para todo conjunto aberto
, o pré-imagem
é aberto em
. Queremos mostrar que
é contínua.
Para isso, vamos usar a definição de continuidade. Seja
e
. O intervalo aberto
é um conjunto aberto em
.
Pelo nosso pressuposto,
é aberto em
. Isso significa que existe um
tal que, se
, então
, ou seja,
.
Isso exatamente atende à definição de continuidade, mostrando que
é contínua em
.
Resposta
Assim, mostramos que
é contínua em
se, e somente se, para todo conjunto aberto
, o pré-imagem
é um conjunto aberto em
.