Uma função f: X -> R, onde X ⊆ R, é dita contínua no ponto a in X, se
forall epsilon > 0, delta > 0 ; x em X, |x - a| < delta => |f(x) - f(a)| < epsilon
Mostre que f é contínua em X se, e somente se, f^{-1}(A) subset X for um conjunto aberto, para todo aberto A ⊆ R.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde . Queremos mostrar que é contínua em se, e somente se, para todo conjunto aberto , o pré-imagem é um conjunto aberto em .
Aqui, vamos usar conceitos de continuidade de funções e topologia básica sobre conjuntos abertos. Precisamos entender o que significa uma função ser contínua e como os conjuntos abertos se comportam em relação a essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade usando o critério - . A função é contínua no ponto se, para todo , existe um tal que, sempre que (com ), então .
Essa definição nos diz que podemos fazer com que fique tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Agora, vamos considerar conjuntos abertos. Um conjunto é aberto se, para todo ponto , existe um intervalo ao redor de que está completamente contido em .
Nosso objetivo é relacionar essa definição com a continuidade de através dos pré-imagens dos conjuntos abertos.

Passo 4

Vamos dividir a prova em duas partes para mostrar a equivalência:
  1. Se é contínua, então para todo conjunto aberto , é aberto em .
  2. Se para todo conjunto aberto , é aberto em , então é contínua.

Passo 5

Parte 1: contínua implica aberto
Assume que é contínua. Seja um conjunto aberto em . Queremos mostrar que é aberto em .
Pela definição de continuidade, para cada ponto , existe um tal que se , então , onde é escolhido de modo que esteja dentro de .
Como é aberto, podemos escolher de forma que todo esse intervalo esteja dentro de . Assim, existe um intervalo ao redor de que está completamente contido em , o que mostra que é aberto.

Passo 6

Parte 2: aberto para todo aberto implica contínua
Agora, suponha que para todo conjunto aberto , o pré-imagem é aberto em . Queremos mostrar que é contínua.
Para isso, vamos usar a definição de continuidade. Seja e . O intervalo aberto é um conjunto aberto em .
Pelo nosso pressuposto, é aberto em . Isso significa que existe um tal que, se , então , ou seja, .
Isso exatamente atende à definição de continuidade, mostrando que é contínua em .

Resposta

Assim, mostramos que é contínua em se, e somente se, para todo conjunto aberto , o pré-imagem é um conjunto aberto em .

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