Uma função , onde , é dita contínua no ponto , se
Mostre que é contínua em se, e somente se, for um conjunto aberto, para todo aberto .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde . Queremos mostrar que é contínua em se, e somente se, para todo conjunto aberto , o pré-imagem é um conjunto aberto em .
Aqui, vamos usar conceitos de continuidade de funções e topologia básica sobre conjuntos abertos. Precisamos entender o que significa uma função ser contínua e como os conjuntos abertos se comportam em relação a essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade usando o critério - . A função é contínua no ponto se, para todo , existe um tal que, sempre que (com ), então .
Essa definição nos diz que podemos fazer com que fique tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .
Passo 3
Agora, vamos considerar conjuntos abertos. Um conjunto é aberto se, para todo ponto , existe um intervalo ao redor de que está completamente contido em .
Nosso objetivo é relacionar essa definição com a continuidade de através dos pré-imagens dos conjuntos abertos.
Passo 4
Vamos dividir a prova em duas partes para mostrar a equivalência:
1. **Se é contínua, então para todo conjunto aberto , é aberto em .**
2. **Se para todo conjunto aberto , é aberto em , então é contínua.**
Passo 5
**Parte 1: contínua implica aberto**
Assume que é contínua. Seja um conjunto aberto em . Queremos mostrar que é aberto em .
Pela definição de continuidade, para cada ponto , existe um tal que se , então , onde é escolhido de modo que esteja dentro de .
Como é aberto, podemos escolher de forma que todo esse intervalo esteja dentro de . Assim, existe um intervalo ao redor de que está completamente contido em , o que mostra que é aberto.
Passo 6
**Parte 2: aberto para todo aberto implica contínua**
Agora, suponha que para todo conjunto aberto , o pré-imagem é aberto em . Queremos mostrar que é contínua.
Para isso, vamos usar a definição de continuidade. Seja e . O intervalo aberto é um conjunto aberto em .
Pelo nosso pressuposto, é aberto em . Isso significa que existe um tal que, se , então , ou seja, .
Isso exatamente atende à definição de continuidade, mostrando que é contínua em .
Resposta
Assim, mostramos que é contínua em se, e somente se, para todo conjunto aberto , o pré-imagem é um conjunto aberto em .
Exercícios relacionados
Mostre que todo conjunto aberto é uma reunião de intervalos abertos.
Calcule os limites abaixo.
Seja uma familia de intervalos abertos, todos contendo o ponto . Mostre que é um intervalo aberto.
1a. (a) Como é definido o número ?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de ?