Seja
uma familia de intervalos abertos, todos contendo o ponto
. Mostre que
é um intervalo aberto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma família de intervalos abertos, todos eles contendo um ponto específico
na linha dos números reais
. Queremos mostrar que a união de todos esses intervalos, que chamamos de
, também é um intervalo aberto.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com conceitos de topologia na reta real, especificamente com intervalos abertos e propriedades de união de conjuntos abertos.
O que vamos precisar: Conhecer as definições de intervalo aberto, união de conjuntos e propriedades básicas dos números reais.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um intervalo aberto. Um intervalo aberto
é o conjunto de todos os números reais
tais que
, onde
e
não estão incluídos no intervalo.
Passo 3
Sabemos que cada intervalo
da família
contém o ponto
. Isso significa que para cada
, temos
, onde
.
Passo 4
A união de todos esses intervalos
será o conjunto de todos os pontos que pertencem a pelo menos um dos intervalos
. Como todos os
contêm
,
estará em
.
Passo 5
Para mostrar que
é um intervalo aberto, precisamos verificar duas coisas:
-
é um intervalo, ou seja, não tem “saltos” ou lacunas. -
é aberto, ou seja, para todo ponto em , existe um intervalo aberto ao redor de que também está completamente contido em .
Passo 6
Como todos os
são intervalos abertos e contêm
, a união
será o menor intervalo aberto que contém todos os
. Não haverá lacunas porque os intervalos abertos sobrepostos resultam em um único intervalo contínuo.
Passo 7
Além disso,
é aberto porque é a união de intervalos abertos. A união arbitrária de conjuntos abertos é aberta, conforme a definição da topologia na reta real.
Resposta
Portanto, a união
é de fato um intervalo aberto.
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, onde
, é dita contínua no ponto
, se
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é contínua em
se, e somente se,
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.
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é uma reunião de intervalos abertos.
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