Seja uma familia de intervalos abertos, todos contendo o ponto . Mostre que é um intervalo aberto.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma família de intervalos abertos, todos eles contendo um ponto específico na linha dos números reais . Queremos mostrar que a união de todos esses intervalos, que chamamos de , também é um intervalo aberto.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com conceitos de topologia na reta real, especificamente com intervalos abertos e propriedades de união de conjuntos abertos.
O que vamos precisar: Conhecer as definições de intervalo aberto, união de conjuntos e propriedades básicas dos números reais.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um intervalo aberto. Um intervalo aberto é o conjunto de todos os números reais tais que , onde e não estão incluídos no intervalo.

Passo 3

Sabemos que cada intervalo da família contém o ponto . Isso significa que para cada , temos , onde .

Passo 4

A união de todos esses intervalos será o conjunto de todos os pontos que pertencem a pelo menos um dos intervalos . Como todos os contêm , estará em .

Passo 5

Para mostrar que é um intervalo aberto, precisamos verificar duas coisas:
  1. é um intervalo, ou seja, não tem “saltos” ou lacunas.
  2. é aberto, ou seja, para todo ponto em , existe um intervalo aberto ao redor de que também está completamente contido em .

Passo 6

Como todos os são intervalos abertos e contêm , a união será o menor intervalo aberto que contém todos os . Não haverá lacunas porque os intervalos abertos sobrepostos resultam em um único intervalo contínuo.

Passo 7

Além disso, é aberto porque é a união de intervalos abertos. A união arbitrária de conjuntos abertos é aberta, conforme a definição da topologia na reta real.

Resposta

Portanto, a união é de fato um intervalo aberto.

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Uma função , onde , é dita contínua no ponto , se
Mostre que é contínua em se, e somente se, for um conjunto aberto, para todo aberto .
Mostre que todo conjunto aberto é uma reunião de intervalos abertos.
1a. (a) Como é definido o número ?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de ?
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto especificado, se existir:
(a) .