Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto
especificado, se existir:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a ideia de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Ou seja, a derivada da função nesse ponto nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
, denotada por
, representa a taxa de variação de
em relação a
. Para
, a derivada é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente é constante e igual a 5 para qualquer valor de
.
Passo 4
Agora, sabemos que a inclinação da reta tangente no ponto
é 5. Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Onde:
-
é a inclinação da reta (no caso, 5), -
são as coordenadas do ponto (no caso, ).
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para a forma mais conhecida,
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
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