Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto especificado, se existir:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a ideia de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Ou seja, a derivada da função nesse ponto nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de , denotada por , representa a taxa de variação de em relação a . Para , a derivada é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente é constante e igual a 5 para qualquer valor de .

Passo 4

Agora, sabemos que a inclinação da reta tangente no ponto é 5. Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Onde:
  • é a inclinação da reta (no caso, 5),
  • são as coordenadas do ponto (no caso, ).
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para a forma mais conhecida, :

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

1a. (a) Como é definido o número ?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de ?
Seja uma familia de intervalos abertos, todos contendo o ponto . Mostre que é um intervalo aberto.
Um epidemiologista observa que certa doença se dissemina de tal forma que, semanas após o inicio de um surto, centenas de casos novos são relatados, em que
c) As autoridades consideraram a epidemia sob controle quando a taxa de aumento de número de casos é minima. Em que semana isso ocorree qual é o número de casos nessa semana?
Determine a primeira e a segunda derivada de:
©