Um epidemiologista observa que certa doença se dissemina de tal forma que,
semanas após o inicio de um surto,
centenas de casos novos são relatados, em que
c) As autoridades consideraram a epidemia sob controle quando a taxa de aumento de número de casos é minima. Em que semana isso ocorree qual é o número de casos nessa semana?
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o problema fala sobre como uma doença se espalha ao longo do tempo. A gente sabe que, após
semanas do início do surto, são registrados
centenas de novos casos. A função que descreve isso é:
O conteúdo que vamos precisar aqui envolve cálculo, especificamente derivadas para entender como a taxa de aumento dos casos muda com o tempo. Nossa missão é descobrir em que semana a taxa de aumento dos casos é mínima e qual é esse número de casos naquela semana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a taxa de aumento dos casos significa. Basicamente, é a mudança no número de casos por semana, que é dada pela derivada de
em relação ao tempo
. Então, vamos calcular
:
Passo 3
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aqui,
e
. Vamos encontrar
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Então, a taxa de aumento dos casos é dada por:
Passo 5
Agora, queremos encontrar quando essa taxa de aumento é mínima. Para isso, precisamos encontrar a derivada da taxa de aumento, ou seja, a segunda derivada de
, que é
. Vamos calcular
:
Passo 6
Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar
. Seja
e
. Então:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando mais:
Isso fica bem complicado, então vamos uma outra abordagem!
Passo 8
Uma maneira mais simples de encontrar o mínimo da taxa de aumento é analisar a função
:
Queremos encontrar o valor de
que minimiza
. Para isso, precisamos achar onde a derivada de
é zero, ou seja,
.
Porém, isso está bem complicado. Vamos assim: como
é uma função racional, podemos achar o mínimo observando o comportamento da primeira derivada.
Passo 9
Na verdade, uma abordagem mais direta é encontrar o valor de
que minimiza
. Veja que:
Queremos minimizar essa expressão. Vamos definir:
Para minimizar
, vamos achar onde sua derivada
é zero.
Passo 10
Calculando
:
Simplificando, podemos igualar o numerador a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 11
Após simplificar o numerador e resolver a equação
, descobrimos que o mínimo ocorre quando
semanas.
Passo 12
Agora, vamos calcular o número de casos nessa semana. Substituindo
em
:
Como
está em centenas de casos, multiplicamos por 100:
Resposta
A taxa de aumento dos casos é mínima na semana
(aproximadamente 2,45 semanas) e o número de casos nessa semana é de aproximadamente 136 casos.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto
especificado, se existir:
(a) .
(a)
1a. (a) Como é definido o número
?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de
?
Determine a primeira e a segunda derivada de:
©
©
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados