Um epidemiologista observa que certa doença se dissemina de tal forma que, semanas após o inicio de um surto, centenas de casos novos são relatados, em que
c) As autoridades consideraram a epidemia sob controle quando a taxa de aumento de número de casos é minima. Em que semana isso ocorree qual é o número de casos nessa semana?

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o problema fala sobre como uma doença se espalha ao longo do tempo. A gente sabe que, após semanas do início do surto, são registrados centenas de novos casos. A função que descreve isso é:
O conteúdo que vamos precisar aqui envolve cálculo, especificamente derivadas para entender como a taxa de aumento dos casos muda com o tempo. Nossa missão é descobrir em que semana a taxa de aumento dos casos é mínima e qual é esse número de casos naquela semana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a taxa de aumento dos casos significa. Basicamente, é a mudança no número de casos por semana, que é dada pela derivada de em relação ao tempo . Então, vamos calcular :

Passo 3

Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e . Vamos encontrar e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Então, a taxa de aumento dos casos é dada por:

Passo 5

Agora, queremos encontrar quando essa taxa de aumento é mínima. Para isso, precisamos encontrar a derivada da taxa de aumento, ou seja, a segunda derivada de , que é . Vamos calcular :

Passo 6

Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar . Seja e . Então:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Simplificando mais:
Isso fica bem complicado, então vamos uma outra abordagem!

Passo 8

Uma maneira mais simples de encontrar o mínimo da taxa de aumento é analisar a função :
Queremos encontrar o valor de que minimiza . Para isso, precisamos achar onde a derivada de é zero, ou seja, .
Porém, isso está bem complicado. Vamos assim: como é uma função racional, podemos achar o mínimo observando o comportamento da primeira derivada.

Passo 9

Na verdade, uma abordagem mais direta é encontrar o valor de que minimiza . Veja que:
Queremos minimizar essa expressão. Vamos definir:
Para minimizar , vamos achar onde sua derivada é zero.

Passo 10

Calculando :
Simplificando, podemos igualar o numerador a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 11

Após simplificar o numerador e resolver a equação , descobrimos que o mínimo ocorre quando semanas.

Passo 12

Agora, vamos calcular o número de casos nessa semana. Substituindo em :
Como está em centenas de casos, multiplicamos por 100:

Resposta

A taxa de aumento dos casos é mínima na semana (aproximadamente 2,45 semanas) e o número de casos nessa semana é de aproximadamente 136 casos.

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto especificado, se existir:
(a) .
1a. (a) Como é definido o número ?
1b. (b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de ?
Determine a primeira e a segunda derivada de:
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Determine um para , tal que
â
Para cada funçào sào dados