1a
Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
:
Todos os vetores da forma (
em que
.
Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
Todos os vetores da forma (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço específico do
. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever todos os vetores que pertencem a esse subespaço e identificar quais vetores formam a base desse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a condição dada: todos os vetores têm a forma
onde
. Isso significa que o quarto componente do vetor não é independente; ele depende dos valores de
e
. Então, podemos reescrever qualquer vetor desse subespaço substituindo
por
.
Passo 3
Com essa substituição, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como
. Aqui,
,
e
são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Assim, podemos expressar o vetor de forma que destaque essas variáveis livres.
Passo 4
Vamos expressar o vetor
como uma combinação linear das variáveis livres:
Aqui, cada vetor multiplicado por uma variável livre representa uma direção independente no subespaço.
Passo 5
Observando a combinação linear acima, podemos identificar os vetores que formam a base do subespaço:
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço definido pela condição
.
Resposta
A base do subespaço é formada pelos vetores
,
e
. Portanto, a dimensão desse subespaço é 3.