1a
Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do R^4 :
Todos os vetores da forma ( x, y, z, t) em que t=x+y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço específico do R^4. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever todos os vetores que pertencem a esse subespaço e identificar quais vetores formam a base desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a condição dada: todos os vetores têm a forma (x, y, z, t) onde t = x + y. Isso significa que o quarto componente do vetor não é independente; ele depende dos valores de x e y. Então, podemos reescrever qualquer vetor desse subespaço substituindo t por x + y.

Passo 3

Com essa substituição, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como (x, y, z, x + y). Aqui, x, y e z são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Assim, podemos expressar o vetor de forma que destaque essas variáveis livres.

Passo 4

Vamos expressar o vetor (x, y, z, x + y) como uma combinação linear das variáveis livres:
(x, y, z, x + y) = x cdot (1, 0, 0, 1) + y cdot (0, 1, 0, 1) + z cdot (0, 0, 1, 0)
Aqui, cada vetor multiplicado por uma variável livre representa uma direção independente no subespaço.

Passo 5

Observando a combinação linear acima, podemos identificar os vetores que formam a base do subespaço:
, (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0) ,
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço definido pela condição t = x + y.

Resposta

A base do subespaço é formada pelos vetores (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1) e (0, 0, 1, 0). Portanto, a dimensão desse subespaço é 3.

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