Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
© (1,0,0) in[(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)].

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se o vetor (1,0,0) está dentro do conjunto formado pelos vetores (1,1,1), (-1,1,0) e (1,0,-1). Isso envolve usar a ideia de combinação linear, que faz parte da álgebra vetorial. Vamos precisar montar um sistema de equações para ver se conseguimos expressar (1,0,0) como uma combinação desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que existe uma combinação linear desses vetores que dá (1,0,0). Isso significa que podemos encontrar números (vamos chamar de a, b e c) tais que:
a cdot (1,1,1) + b cdot (-1,1,0) + c cdot (1,0,-1) = (1,0,0)

Passo 3

Agora, vamos quebrar isso em componentes para formar um sistema de equações. A gente compara cada posição das coordenadas:
  1. Na primeira posição: a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 1 = 1
    a - b + c = 1
  2. Na segunda posição: a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0
    a + b = 0
  3. Na terceira posição: a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot (-1) = 0
    a - c = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  • Da segunda equação: a + b = 0, então b = -a.
  • Da terceira equação: a - c = 0, então c = a.
  • Substituindo b e c na primeira equação:
    a - (-a) + a = 1
    3a = 1
    a = 13
  • Agora, encontramos b e c:
    b = -13
    c = 13

Passo 5

A gente conseguiu encontrar valores para a, b e c que satisfazem todas as equações. Isso significa que dá pra escrever (1,0,0) como uma combinação linear dos vetores dados.

Resposta

Verdadeiro (V). O vetor (1,0,0) pertence ao conjunto [(1,1,1), (-1,1,0), (1,0,-1)] porque conseguimos encontrar coeficientes que o expressam como uma combinação linear desses vetores.

Exercícios relacionados