Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos tentando encontrar uma base e a dimensão do conjunto de soluções de um sistema de equações lineares homogêneo. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde a gente trabalha com sistemas de equações e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos montar a matriz do sistema, usar eliminação para simplificar e descobrir quais vetores satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Como todas as equações são iguais a zero (sistema homogêneo), a última coluna será só zeros:
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma onde fique mais fácil ver as soluções. Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 na primeira linha e primeira coluna). Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, queremos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (o 1 na segunda linha e segunda coluna). Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira linha: