Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
lx+2 z=0 2 x+y+3 z=0 3 x+y+2 z=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos tentando encontrar uma base e a dimensão do conjunto de soluções de um sistema de equações lineares homogêneo. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde a gente trabalha com sistemas de equações e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos montar a matriz do sistema, usar eliminação para simplificar e descobrir quais vetores satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Como todas as equações são iguais a zero (sistema homogêneo), a última coluna será só zeros:
1 & 0 & 2 & | & 0 2 & 1 & 3 & | & 0 3 & 1 & 2 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma onde fique mais fácil ver as soluções. Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 na primeira linha e primeira coluna). Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Linha 2: 1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & -4 & | & 0 , ,
  • Linha 3: , ,
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, queremos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (o 1 na segunda linha e segunda coluna). Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira linha:
  • Linha 3: 1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & 0 & -3 & | & 0 , ,
A matriz fica:

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os elementos por -3 para tornar o pivô igual a 1:
1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 6

Agora, podemos escrever as equações correspondentes a essa matriz reduzida:
x + 2z = 0 y - z = 0 z = 0
Da última equação, sabemos que . Substituindo na segunda equação, . E na primeira, .

Resposta

A base do conjunto solução é e a dimensão �� 0.

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