Para cada um dos subconjuntos
, onde
é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por
, isto é,
:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores
no espaço vetorial
. O que a gente precisa fazer é encontrar o subespaço gerado por
, que é representado por
. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço gerado por
. Um subespaço gerado por um conjunto de vetores é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor que a gente possa formar multiplicando os vetores de
por escalares e somando os resultados.
Passo 3
Vamos representar esses vetores com variáveis escalares. Seja
e
números reais, então uma combinação linear de
fica assim:
Passo 4
Agora, vamos identificar todas as possíveis combinações lineares desses vetores. O vetor resultante é
. Isso significa que qualquer vetor no subespaço
pode ser escrito dessa forma, onde
e
são reais.
Passo 5
Para simplificar, podemos expressar
e
em termos de
. Observe que
, então
. Substituindo na primeira equação:
Isso mostra que
depende de
e
.
Passo 6
Como
e
podem ser quaisquer números reais, isso significa que o subespaço
inclui todos os vetores de
. Portanto,
.
Resposta
O subespaço gerado por
em
é todo o espaço
, ou seja,
.