Para cada um dos subconjuntos S subset V, onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, [S] :
(a) S=(1,0),(2,-1), V=R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores no espaço vetorial . O que a gente precisa fazer é encontrar o subespaço gerado por , que é representado por . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço gerado por . Um subespaço gerado por um conjunto de vetores é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor que a gente possa formar multiplicando os vetores de por escalares e somando os resultados.

Passo 3

Vamos representar esses vetores com variáveis escalares. Seja a cdot (1, 0) + b cdot (2, -1) = (a + 2b, 0 + (-b)) = (a + 2b, -b) e números reais, então uma combinação linear de fica assim:

Passo 4

Agora, vamos identificar todas as possíveis combinações lineares desses vetores. O vetor resultante é . Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito dessa forma, onde e são reais.

Passo 5

Para simplificar, podemos expressar x = a + 2(-y) = a - 2y e em termos de . Observe que , então . Substituindo na primeira equação:
Isso mostra que depende de e .

Passo 6

Como e podem ser quaisquer números reais, isso significa que o subespaço inclui todos os vetores de . Portanto, .

Resposta

O subespaço gerado por em é todo o espaço , ou seja, .

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