Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
p1(t)=3-2 t+t^2 p2(t)=6-4 t+2 t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente olhar dois polinômios, que são tipo vetores, e explicar por que eles são linearmente dependentes. Isso tá ligado à Álgebra Linear, onde a gente verifica se um vetor pode ser escrito como múltiplo do outro. Então, vamos precisar das definições de combinação linear e dependência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar os dois polinômios que a gente tem:
p1(t) = 3 - 2t + t^2
p2(t) = 6 - 4t + 2t^2
A ideia é ver se existe um número escalar, digamos p2(t) = k cdot p1(t) , tal que:

Passo 3

Vamos tentar encontrar esse 6 - 4t + 2t^2 = k cdot (3 - 2t + t^2) . Igualando os polinômios:
6 - 4t + 2t^2 = 3k - 2kt + kt^2
Distribuindo o :

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos termos:
  • Termo constante:
    6 = 3k implies k = 2
  • Coeficiente de -4 = -2k implies k = 2 :
    2 = k implies k = 2
  • Coeficiente de :

Passo 5

Verdade! Em todos os casos, encontramos que . Ou seja, cada termo de é exatamente o dobro de .

Resposta

Portanto, os conjuntos de vetores dados são linearmente dependentes porque .

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