1a
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se uma função é par ou ímpar e, depois, calcular a série de Fourier dela. A função que a gente tem é:
Então, vamos precisar entender os conceitos de funções pares e ímpares, além de saber como montar uma série de Fourier pra representar essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é par ou ímpar. Isso ajuda a simplificar a série de Fourier depois, sabia?
Uma função é par se
para todo
, ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Já é ímpar se
, ou seja, ela é simétrica em relação à origem.
Vamos testar:
- Se pegarmos um valor positivo de
, por exemplo : -
-
- Então,
-
Isso vale para qualquer
no intervalo. Portanto, a função é ímpar.
Passo 3
Agora que sabemos que a função é ímpar, podemos calcular a série de Fourier dela. Para funções ímpares, a série de Fourier é composta apenas por termos de senos, porque os termos de cosseno só aparecem em funções pares.
A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Vamos calcular
para nossa função.
Passo 4
Calculando
:
Dado que
no intervalo
, temos:
Sabemos que
e
, então:
Observando que para
par,
, e para
ímpar,
, então podemos simplificar:
Passo 5
Agora, colocando tudo junto, a série de Fourier da nossa função ímpar é:
Onde
é um número inteiro não negativo. Isso significa que nossa série é composta apenas por senos de múltiplos ímpares de
.
Resposta
A função é ímpar e sua série de Fourier é:
Exercícios relacionados
Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.
4b
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
;
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
3a
Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar
, ambas com período
. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
;
Esboce os gráficos da extensão periódica par
4a
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
;
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.