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Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x) = {-1, -pi < x < 0; 1, 0 <= x < pi}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se uma função é par ou ímpar e, depois, calcular a série de Fourier dela. A função que a gente tem é:
Então, vamos precisar entender os conceitos de funções pares e ímpares, além de saber como montar uma série de Fourier pra representar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é par ou ímpar. Isso ajuda a simplificar a série de Fourier depois, sabia?
Uma função é par se para todo x, ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Já é ímpar se , ou seja, ela é simétrica em relação à origem.
Vamos testar:
  • Se pegarmos um valor positivo de x, por exemplo :
    • Então,
Isso vale para qualquer x no intervalo. Portanto, a função é ímpar.

Passo 3

Agora que sabemos que a função é ímpar, podemos calcular a série de Fourier dela. Para funções ímpares, a série de Fourier é composta apenas por termos de senos, porque os termos de cosseno só aparecem em funções pares.
A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo [-pi, pi] é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular para nossa função.

Passo 4

Calculando :
Dado que no intervalo , temos:
Sabemos que e , então:
Observando que para n par, , e para n ímpar, , então podemos simplificar:
í

Passo 5

Agora, colocando tudo junto, a série de Fourier da nossa função ímpar é:
Onde k é um número inteiro não negativo. Isso significa que nossa série é composta apenas por senos de múltiplos ímpares de x.

Resposta

A função é ímpar e sua série de Fourier é:

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