Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que é estendida periodicamente para fora do intervalo original . Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função e descobrir para qual função essa série converge. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função por três períodos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, como calcular os coeficientes e como a função se comporta no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. A função está definida no intervalo , então o período é . Com isso, a frequência angular fundamental é dada por:

Passo 3

A série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como:
Onde:
  • é a componente constante.
  • e são os coeficientes das componentes cosseno e seno, respectivamente.

Passo 4

Observando a função dada:
Podemos notar que , ou seja, a função é ímpar. Isso simplifica nossa vida porque, para funções ímpares, todos os coeficientes são zero.

Passo 5

Ficando assim:
Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Resolvendo a segunda integral:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Sabendo que e , temos:

Passo 8

Então, a série de Fourier fica:

Passo 9

Para determinar para qual função a série converge, observamos que a série de Fourier representa a função original onde ela é contínua e a média dos limites nos pontos de descontinuidade. No nosso caso, a série converge para:
E essa continuidade se repete a cada período de unidades.

Passo 10

Por fim, ao esboçar o gráfico por três períodos, a função alterna entre rampas ascendentes e descendentes, formando uma onda triangular contínua. Cada período de unidades no eixo mostra essa repetição da forma triangular.

Resposta

A série de Fourier da função estendida é dada por:
Essa série converge para a própria função definida por:
O gráfico dessa função, repetido a cada unidades, apresenta uma forma triangular contínua ao longo de três períodos.

Exercícios relacionados

4b
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
;
5a
Encontre a série em senos mista de Fourier.
;
1a
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
3a
Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar , ambas com período . Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
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