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Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
f(x)=1,0<x<L;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Fourier mista em cossenos para a função no intervalo . Isso envolve entender um pouco sobre séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Fourier mista:
Aqui, é o termo constante, e os e são os coeficientes que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente :
Substituindo :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Com :
A integral de cosseno é conhecida:
Aplicando isso:
Porque .

Passo 5

Vamos calcular agora os coeficientes :
Substituindo :
A integral de seno é:
Então:
Como :

Passo 6

Finalmente, juntando tudo na fórmula da série de Fourier mista:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A série de Fourier mista da função no intervalo é:

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