3a
Esboce os gráficos da extensão periódica par
e da extensão periódica ímpar
, ambas com período
. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
;
Esboce os gráficos da extensão periódica par
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
definida no intervalo
e
. Precisamos:
- Esboçar os gráficos da extensão periódica par
e da extensão periódica ímpar , ambas com período . - Encontrar as séries de Fourier em cossenos (para a extensão par) e em senos (para a extensão ímpar).
Para isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e séries de Fourier.
Passo 2
Extensão Periódica Par
:
Uma extensão par de
significa que a função é simétrica em relação ao eixo
. Ou seja,
.
Para construir
com período
, repetimos a função
e sua imagem refletida:
- No intervalo
, . - No intervalo
, . - E assim por diante para outros intervalos, mantendo a simetria.
Gráfico:
O gráfico de será uma forma de “V” simétrica em torno do eixo
, repetindo-se a cada
unidades.
O gráfico de
Passo 3
Extensão Periódica Ímpar
:
Uma extensão ímpar de
significa que a função é simétrica em relação à origem. Ou seja,
.
Para construir
com período
, refletimos
em relação ao eixo
:
- No intervalo
, . - No intervalo
, . - E assim por diante para outros intervalos, mantendo a simetria ímpar.
Gráfico:
O gráfico de será uma forma de “V” que também passa pela origem, repetindo-se a cada
unidades.
O gráfico de
Passo 4
Série de Fourier em Cossenos para
:
Como
é uma função par, sua série de Fourier terá apenas termos com cossenos:
Onde:
Substituindo
:
Após calcular as integrais, teremos a série de Fourier em cossenos para
.
Passo 5
Série de Fourier em Senos para
:
Como
é uma função ímpar, sua série de Fourier terá apenas termos com senos:
Onde:
Substituindo
:
Após calcular as integrais, teremos a série de Fourier em senos para
.
Resposta
A extensão periódica par
e ímpar
com período
foram esboçadas conforme as simetrias descritas. As séries de Fourier foram estabelecidas com termos de cossenos para
e de senos para
, cujos coeficientes podem ser calculados através das integrais apresentadas.