3a
Esboce os gráficos da extensão periódica par g(x) e da extensão periódica ímpar h(x), ambas com período 2 L. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
f(x) = 3 - x, 0 < x < 3, L = 3;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função definida no intervalo e . Precisamos:
  1. Esboçar os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar , ambas com período .
  2. Encontrar as séries de Fourier em cossenos (para a extensão par) e em senos (para a extensão ímpar).
Para isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e séries de Fourier.

Passo 2

Extensão Periódica Par :
Uma extensão par de significa que a função é simétrica em relação ao eixo . Ou seja, .
Para construir com período , repetimos a função e sua imagem refletida:
  • No intervalo , .
  • No intervalo , .
  • E assim por diante para outros intervalos, mantendo a simetria.
Gráfico:
O gráfico de será uma forma de “V” simétrica em torno do eixo , repetindo-se a cada unidades.

Passo 3

Extensão Periódica Ímpar :
Uma extensão ímpar de significa que a função é simétrica em relação à origem. Ou seja, .
Para construir com período , refletimos em relação ao eixo :
  • No intervalo , .
  • No intervalo , .
  • E assim por diante para outros intervalos, mantendo a simetria ímpar.
Gráfico:
O gráfico de será uma forma de “V” que também passa pela origem, repetindo-se a cada unidades.

Passo 4

Série de Fourier em Cossenos para :
Como é uma função par, sua série de Fourier terá apenas termos com cossenos:
Onde:
Substituindo :
Após calcular as integrais, teremos a série de Fourier em cossenos para .

Passo 5

Série de Fourier em Senos para :
Como é uma função ímpar, sua série de Fourier terá apenas termos com senos:
Onde:
Substituindo :
Após calcular as integrais, teremos a série de Fourier em senos para .

Resposta

A extensão periódica par e ímpar com período foram esboçadas conforme as simetrias descritas. As séries de Fourier foram estabelecidas com termos de cossenos para e de senos para , cujos coeficientes podem ser calculados através das integrais apresentadas.

Exercícios relacionados