4b
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
f(x) = x, 0 < x < 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em cossenos para a função no intervalo . Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Nesse caso, vamos focar apenas nos cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em cossenos para uma função no intervalo a tem a forma:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes dos cossenos que vamos calcular.

Passo 3

Como nosso intervalo é de a , . Então, a série fica:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

O coeficiente é calculado por:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:

Passo 7

Calculando o primeiro termo:
Porque para todo inteiro .
Agora, a segunda integral:
Sabemos que e , então:

Passo 8

Portanto, o coeficiente fica:

Passo 9

Agora, juntando tudo, a série de Fourier em cossenos para no intervalo é:

Resposta

A série de Fourier em cossenos para , no intervalo , é:

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