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Encontre a série em cossenos mista de Fourier. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em cossenos para a função no intervalo . Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Nesse caso, vamos focar apenas nos cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em cossenos para uma função no intervalo a tem a forma:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes dos cossenos que vamos calcular.
Passo 3
Como nosso intervalo é de a , . Então, a série fica:
Agora, precisamos encontrar e .
Passo 4
O coeficiente é calculado por:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Passo 7
Calculando o primeiro termo:
Porque para todo inteiro .
Agora, a segunda integral:
Sabemos que e , então:
Passo 8
Portanto, o coeficiente fica:
Passo 9
Agora, juntando tudo, a série de Fourier em cossenos para no intervalo é:
Resposta
A série de Fourier em cossenos para , no intervalo , é: