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(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função f. Se f(x, y) ≥ 0, o que representa a soma?

Passo 1

Neste exercício, vamos trabalhar com somas de Riemann, que são ferramentas no cálculo usadas para aproximar a integral de uma função. Precisamos escrever uma expressão para uma soma de Riemann de uma função e, considerando que , entender o que essa soma representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Para uma função de duas variáveis , a soma de Riemann é usada para aproximar a integral dupla dessa função sobre uma região . A expressão geral para uma soma de Riemann dupla é:
Aqui:
  • e são o número de subdivisões nos eixos e , respectivamente.
  • e são os comprimentos dos intervalos nas direções e .
  • são os pontos onde a função é avaliada dentro de cada subdivisão.

Passo 3

Como , cada termo na soma representa a área de um retângulo com altura . Portanto, a soma total:
representa uma aproximação da área total sob a superfície definida pela função sobre a região .

Resposta

A expressão para a soma de Riemann é:
E, se , essa soma representa a área aproximada sob a superfície da função na região considerada.

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