1a
(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
. Se
, o que representa a soma?
(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
Passo 1
Neste exercício, vamos trabalhar com somas de Riemann, que são ferramentas no cálculo usadas para aproximar a integral de uma função. Precisamos escrever uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
e, considerando que
, entender o que essa soma representa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Para uma função de duas variáveis
, a soma de Riemann é usada para aproximar a integral dupla dessa função sobre uma região
. A expressão geral para uma soma de Riemann dupla é:
Aqui:
-
e são o número de subdivisões nos eixos e , respectivamente. -
e são os comprimentos dos intervalos nas direções e . -
são os pontos onde a função é avaliada dentro de cada subdivisão.
Passo 3
Como
, cada termo
na soma representa a área de um retângulo com altura
. Portanto, a soma total:
representa uma aproximação da área total sob a superfície definida pela função
sobre a região
.
Resposta
A expressão para a soma de Riemann é:
E, se
, essa soma representa a área aproximada sob a superfície da função
na região considerada.