(a) Como você define
se
é uma região limitada que não é retangular?
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para definir a integral dupla
quando a região
é limitada, mas não é retangular. Isso significa que precisamos calcular a integral sobre uma área que tem formas mais complicadas que um retângulo padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração corretamente para cobrir toda a região
.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar a região
. Como ela não é retangular, vamos dividi-la em partes mais simples ou identificar as fronteiras que a delimitam. Isso ajuda a determinar quais valores de
e
fazem parte da região.
Passo 3
Vamos usar integrais iteradas, ou seja, integrar em duas etapas: primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Para isso, precisamos expressar os limites de uma variável em termos da outra.
Passo 4
Suponha que vamos integrar primeiro em relação a
. Isso significa que para cada valor de
, vamos determinar de onde a região
começa e termina em
. Vamos chamar esses limites de
e
.
Passo 5
Depois, estabelecemos os limites para
. Precisamos encontrar os valores mínimo e máximo de
que a região
abrange. Vamos chamar esses limites de
e
.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla como uma integral iterada. Ficaria assim:
Aqui, integramos primeiro em
, mantendo
fixo, e depois em
.
Resposta
A integral dupla sobre a região
não retangular é definida como uma integral iterada, onde primeiro integramos em
com limites dependentes de
, e depois em
. A expressão geral fica: