(a) Como você define integral duplaD f(x, y) d A se D é uma região limitada que não é retangular?

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para definir a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A quando a região D é limitada, mas não é retangular. Isso significa que precisamos calcular a integral sobre uma área que tem formas mais complicadas que um retângulo padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração corretamente para cobrir toda a região D.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região D. Como ela não é retangular, vamos dividi-la em partes mais simples ou identificar as fronteiras que a delimitam. Isso ajuda a determinar quais valores de x e y fazem parte da região.

Passo 3

Vamos usar integrais iteradas, ou seja, integrar em duas etapas: primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Para isso, precisamos expressar os limites de uma variável em termos da outra.

Passo 4

Suponha que vamos integrar primeiro em relação a y. Isso significa que para cada valor de x, vamos determinar de onde a região D começa e termina em y. Vamos chamar esses limites de yinferior(x) e ysuperior(x).

Passo 5

Depois, estabelecemos os limites para x. Precisamos encontrar os valores mínimo e máximo de x que a região D abrange. Vamos chamar esses limites de xmin e xmax.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla como uma integral iterada. Ficaria assim:
integral duplaD f(x, y) d A = integralxmin^xmax ( integralyinferior(x)^ysuperior(x) f(x, y) , dy ) dx
Aqui, integramos primeiro em y, mantendo x fixo, e depois em x.

Resposta

A integral dupla sobre a região D não retangular é definida como uma integral iterada, onde primeiro integramos em y com limites dependentes de x, e depois em x. A expressão geral fica:
integral duplaD f(x, y) d A = integralxmin^xmax ( integralyinferior(x)^ysuperior(x) f(x, y) , dy ) dx

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