Tm=1A(R) integral duplaR T(x, y) d A
Para encontrar a temperatura média da porção da lâmina em forma de diamante determinada por R:|2 x+y| <= 4 e |2 x-y| <= 4, é necessário completar os seguintes espaços vazios interpretando e justificando cada um dos dados:
1a) R:=(x, y) /-4 <= 2 x+y <= ? e ? <= 2 x-y <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura média de uma área em forma de diamante, que está definida por algumas desigualdades envolvendo e . O que a gente tem que fazer primeiro é completar as desigualdades que definem essa região . Para isso, vamos interpretar e justificar cada parte dos dados que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a definição de R := (x, y) mid -4 <= 2x + y <= ,?, e ,?, <= 2x - y <= 4 :
A gente já sabe que e . Essas expressões em valor absoluto representam as distâncias máximas que e podem ter.

Passo 3

Vamos primeiro resolver -4 <= 2x + y <= 4 . Isso significa que:
-4 <= 2x + y <= 4
Então, para a primeira parte das desigualdades, temos que o limite inferior já está preenchido como , e o limite superior é . Assim, a primeira parte fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver -4 <= 2x - y <= 4 . Isso significa que:
Mas na nossa definição de , a segunda parte das desigualdades está escrita como . Então, precisamos identificar o valor que preenche o ponto de interrogação no lado esquerdo.

Passo 5

Observando a simetria das desigualdades, vemos que assim como para -4 <= 2x + y <= 4 e -4 <= 2x - y <= 4 , o limite inferior para também deve ser . Portanto, completando as desigualdades, temos:

Resposta

Portanto, a região R := (x, y) mid -4 <= 2x + y <= 4 e -4 <= 2x - y <= 4 fica definida por:

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