Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia, que são ferramentas básicas em cálculo para derivadas de funções que são quocientes ou compostas.
Passo 2
Vamos começar calculando
. A função
é um quociente onde o numerador é
e o denominador é
. A Regra do Quociente nos diz que a derivada do quociente
é dada por:
Aplicando isso à nossa função:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
usando a Regra da Cadeia:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. De maneira similar, usamos a Regra do Quociente:
Onde:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando, fica:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e