Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=sen x yx^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia, que são ferramentas básicas em cálculo para derivadas de funções que são quocientes ou compostas.

Passo 2

Vamos começar calculando ddx( uv ) = v dudx - u dvdxv^2 . A função dudx = cos(xy) cdot ddx(xy) = cos(xy) cdot y é um quociente onde o numerador é dvdx = 2x e o denominador é partial fpartial x = (x^2 + y^2)(cos(xy) cdot y) - sin(xy) cdot 2x(x^2 + y^2)^2 . A Regra do Quociente nos diz que a derivada do quociente partial fpartial x = y(x^2 + y^2)cos(xy) - 2xsin(xy)(x^2 + y^2)^2 é dada por:
Aplicando isso à nossa função:
Primeiro, vamos derivar em relação a usando a Regra da Cadeia:
Em seguida, derivamos em relação a :
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular ddy( uv ) = v dudy - u dvdyv^2 . De maneira similar, usamos a Regra do Quociente:
dudy = cos(xy) cdot ddy(xy) = cos(xy) cdot x
Onde:
  • dvdy = 2y
  • partial fpartial y = (x^2 + y^2)(cos(xy) cdot x) - sin(xy) cdot 2y(x^2 + y^2)^2
Derivando partial fpartial y = x(x^2 + y^2)cos(xy) - 2ysin(xy)(x^2 + y^2)^2 em relação a :
Derivando em relação a :
Aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando, fica:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = y(x^2 + y^2)cos(xy) - 2xsin(xy)(x^2 + y^2)^2 são:
partial fpartial y = x(x^2 + y^2)cos(xy) - 2ysin(xy)(x^2 + y^2)^2
e

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