Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia, que são ferramentas básicas em cálculo para derivadas de funções que são quocientes ou compostas.
Passo 2
Vamos começar calculando
. A função
é um quociente onde o numerador é
e o denominador é
. A Regra do Quociente nos diz que a derivada do quociente
é dada por:
Aplicando isso à nossa função:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
usando a Regra da Cadeia:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. De maneira similar, usamos a Regra do Quociente:
Onde:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando, fica:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Calcule as integrais dadas a seguir:
.
Para encontrar a temperatura média da porção da lâmina em forma de diamante determinada por
e
, é necessário completar os seguintes espaços vazios interpretando e justificando cada um dos dados:
1a) ? e ?
1a)
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
Uma parede vertical forma um ângulo de
radianos com o chão. Uma escada de 200 cm de comprimento está apoiada na parede e sua parte superior desliza para baixo à taxa de
. Com que velocidade varia a área do triângulo formado por escada, parede e chão, quando a escada forma um ângulo de
radianos com o chão?