Calcule as integrais dadas a seguir: integral0^pi / 4(cos 2 t imath+sen 2 t jmath+t sen t k) d t.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de um vetor dado por . Aqui, estamos lidando com integrais de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente integral0^pi / 4 cos 2t , dt :
integral cos 2t , dt = sen 2t2 + C
Teoria aplicada: A integral de sen 2t2 |0^pi/4 = sen (pi/2)2 - sen 02 = 12 - 0 = 12 em relação a é .
Agora, aplicamos os limites de a :
Portanto, a componente é .

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente integral0^pi / 4 sen 2t , dt :
Teoria aplicada: A integral de em relação a integral sen 2t , dt = -cos 2t2 + C é -cos 2t2 |0^pi/4 = -cos (pi/2)2 + cos 02 = -02 + 12 = 12 .
Aplicando os limites de a :
Então, a componente é .

Passo 4

Por último, vamos integrar a componente integral0^pi / 4 t sen t , dt :
Teoria aplicada: Para integrar , usamos integração por partes, onde escolhemos:
u = t Rightarrow du = dt
Aplicando a fórmula da integração por partes ( dv = sen t , dt Rightarrow v = -cos t ):
Agora, aplicamos os limites de integral t sen t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sen t + C a (-t cos t + sen t) |0^pi/4 = ( -pi4 cos pi4 + sen pi4 ) - (0 + 0) :
Sabendo que :
-pi4 cdot raiz22 + raiz22 = raiz22 (1 - pi4)
Portanto, a componente é .

Resposta

A integral resulta no vetor:
12 imath + 12 jmath + raiz22 (1 - pi4) k

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